В вагоне-ресторане поезда на ужин предлагается курица с гречкой или лазанья. Каждый пассажир делает свой выбор. Сколько в данном выборе комбинаций, если 12 пассажиров выбирают…

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Нам нужно определить количество комбинаций выборов для 24 пассажиров, из которых 12 выбирают лазанью, а остальные (также 12) выбирают курицу с гречкой.

Шаг 1: Понимание выбора

Каждый пассажир имеет два варианта на выбор:

• Лазанья
• Курица с гречкой

Шаг 2: Простая задача выбора

Мы можем легко обобщить эту задачу. Из всех пассажиров (24) 12 выбирают лазанью, а 12 — курицу с гречкой. То есть мы фактически перебираем строки из 24 выборов, где 12 из них будут "Л" (лазания), а 12 "К" (курица).

Шаг 3: Формула для комбинаторики

Количество способов выбрать 12 пассажиров для лазаньи из 24 можно подсчитать с помощью биномиального коэффициента, который записывается как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество пассажиров (в нашем случае 24),
• \( k \) — количество пассажиров, выбирающих лазанью (в нашем случае 12).

Шаг 4: Подстановка значений

Теперь мы подставим значения в формулу:

\[ C(24, 12) = \frac{24!}{12! \times (24 - 12)!} = \frac{24!}{12! \times 12!} \]

Шаг 5: Вычисления

Вычисление факториалов может быть трудоемким, но мы можем сократить:

\[ C(24, 12) = \frac{24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Шаг 6: Результат

Выборка даёт следующее значение:

\[ C(24, 12) = 2704156 \]

Заключение

Итак, количество различных комбинаций, при которых 12 пассажиров выбирают лазанью и 12 — курицу с гречкой, составляет 2,704,156.