Давайте решим каждую из данных задач и найдем первообразные для указанных функций. Мы будем действовать по очереди.
1. ( f(x) = 6x^2 - 4x + 3 )
Шаг 1: Применим правило интегрирования для степенной функции.
- (\int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C), где (C) — произвольная константа.
Шаг 2: Найдем интеграл:
[
\int (6x^2 - 4x + 3) , dx = 6 \int x^2 , dx - 4 \int x , dx + 3 \int 1 , dx
]
[
= 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C
]
[
= 2x^3 - 2x^2 + 3x + C
]
Ответ:
[
F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C
]
2. ( f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x} )
Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней:
[
f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-1}
]
Шаг 2: Найдем интеграл:
[
\int (2x^{-3} - 3x^{-1}) , dx = 2\int x^{-3} , dx - 3\int x^{-1} , dx
]
[
= 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 3 \ln |x| + C
]
[
= -\frac{1}{x^2} - 3 \ln |x| + C
]
Ответ:
[
F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3 \ln |x| + C
]
3. ( f(x) = 3\cos x - 4\sin x )
Шаг 1: Найдем интеграл. Известно, что:
- (\int \cos x , dx = \sin x + C)
- (\int \sin x , dx = -\cos x + C)
Шаг 2: Подставим:
[
\int (3\cos x - 4\sin x) , dx = 3\int \cos x , dx - 4\int \sin x , dx
]
[
= 3\sin x + 4\cos x + C
]
Ответ:
[
F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C
]
4. ( f(x) = -3 )
Шаг 1: Интегрируем постоянную:
[
\int -3 , dx = -3x + C
]
Ответ:
[
F(x) = -3x + C
]
5. ( f(x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} )
Шаг 1: Перепишем функции в виде степеней:
[
f(x) = 4x^{1/3} - 6x^{1/2}
]
Шаг 2: Найдем интеграл:
[
\int (4x^{1/3} - 6x^{1/2}) , dx = 4\int x^{1/3} , dx - 6\int x^{1/2} , dx
]
[
= 4 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C
]
[
= 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C
]
Ответ:
[
F(x) = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C
]
Теперь у вас есть первообразные для всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
