Реши первообразную 1. f(x)=6x^2-4x+3 2. f(x)=2/x^3-3/x 3. f(x)=3cos x- 4 sin x 4. f(x)= -3 5. f(x)=4 ^3√x - 6√x
Давайте решим каждую из данных задач и найдем первообразные для указанных функций. Мы будем действовать по очереди.
1. \( f(x) = 6x^2 - 4x + 3 \)
Шаг 1: Применим правило интегрирования для степенной функции.
- \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), где \(C\) — произвольная константа.
Шаг 2: Найдем интеграл: \[ \int (6x^2 - 4x + 3) \, dx = 6 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx + 3 \int 1 \, dx \] \[ = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C \] \[ = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]
Ответ:
\[ F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C \]
2. \( f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{3}{x} \)
Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней: \[ f(x) = 2x^{-3} - 3x^{-1} \]
Шаг 2: Найдем интеграл: \[ \int (2x^{-3} - 3x^{-1}) \, dx = 2\int x^{-3} \, dx - 3\int x^{-1} \, dx \] \[ = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} - 3 \ln |x| + C \] \[ = -\frac{1}{x^2} - 3 \ln |x| + C \]
Ответ:
\[ F(x) = -\frac{1}{x^2} - 3 \ln |x| + C \]
3. \( f(x) = 3\cos x - 4\sin x \)
Шаг 1: Найдем интеграл. Известно, что:
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
Шаг 2: Подставим: \[ \int (3\cos x - 4\sin x) \, dx = 3\int \cos x \, dx - 4\int \sin x \, dx \] \[ = 3\sin x + 4\cos x + C \]
Ответ:
\[ F(x) = 3\sin x + 4\cos x + C \]
4. \( f(x) = -3 \)
Шаг 1: Интегрируем постоянную: \[ \int -3 \, dx = -3x + C \]
Ответ:
\[ F(x) = -3x + C \]
5. \( f(x) = 4 \sqrt[3]{x} - 6\sqrt{x} \)
Шаг 1: Перепишем функции в виде степеней: \[ f(x) = 4x^{1/3} - 6x^{1/2} \]
Шаг 2: Найдем интеграл: \[ \int (4x^{1/3} - 6x^{1/2}) \, dx = 4\int x^{1/3} \, dx - 6\int x^{1/2} \, dx \] \[ = 4 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 6 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C \] \[ = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C \]
Ответ:
\[ F(x) = 3x^{4/3} - 4x^{3/2} + C \]
Теперь у вас есть первообразные для всех заданных функций. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
