Для решения задачи, давайте обозначим два искомых числа. Пусть:
- Первое число (меньшее) обозначим как ( x ).
- Второе число (большее) тогда можно записать как ( x + 3 ), так как одно число больше другого на 3.
Согласно условию задачи, произведение этих двух чисел равно 180:
[
x \cdot (x + 3) = 180
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + 3x = 180
]
Далее перенесем 180 на левую сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения:
[
x^2 + 3x - 180 = 0
]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта ( D ):
[
D = b^2 - 4ac
]
В нашем уравнении ( a = 1 ), ( b = 3 ), ( c = -180 ). Подставим эти значения в формулу:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729
]
Теперь, так как дискриминант положительный, это означает, что у уравнения есть два различных решения. Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем наши значения:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 27}{2}
]
Теперь вычислим два значения:
- Сначала найдём ( x_1 ):
[
x_1 = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12
]
- Теперь найдём ( x_2 ):
[
x_2 = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15
]
Однако, так как мы ищем натуральные числа, значение ( x_2 = -15 ) нам не подходит. Оставим только ( x_1 ):
Итак, первое число ( x = 12 ), а второе число:
[
x + 3 = 12 + 3 = 15
]
Ответ: Натуральные числа — 12 и 15.
