(х-7)⁴+2(х-7)²-8=0

Чтобы решить уравнение \((x-7)^4 + 2(x-7)^2 - 8 = 0\), начнем с упрощения. Введем замену: \[ y = (x - 7)^2 \] Тогда наше уравнение становится: \[ y^2 + 2y - 8 = 0 \] Теперь у нас квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем решить его с помощью формулы квадратного уравнения: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\). Сначала найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] Теперь подставим значение дискриминанта в формулу: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \] Решая это, получаем два значения для \(y\): 1. \(y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\) 2. \(y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Так как \(y = (x - 7)^2\), нужно рассмотреть оба случая. ### Первый случай: \(y_1 = 2\) Подставим это значение обратно в уравнение: \[ (x - 7)^2 = 2 \] Теперь решим это уравнение, извлекая корень: \[ x - 7 = \pm \sqrt{2} \] Отсюда имеем два возможных значения для \(x\): \[ x = 7 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = 7 - \sqrt{2} \] ### Второй случай: \(y_2 = -4\) Для этого случая у нас: \[ (x - 7)^2 = -4 \] Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, этого случая значение \(x\) не имеет действительных корней. ### Ответ: Таким образом, действительные решения уравнения \((x-7)^4 + 2(x-7)^2 - 8 = 0\): \[ x = 7 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = 7 - \sqrt{2} \]