(х-7)⁴+2(х-7)²-8=0
Чтобы решить уравнение \((x-7)^4 + 2(x-7)^2 - 8 = 0\), начнем с упрощения. Введем замену:
\[ y = (x - 7)^2 \]
Тогда наше уравнение становится:
\[ y^2 + 2y - 8 = 0 \]
Теперь у нас квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем решить его с помощью формулы квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = 2\) и \(c = -8\). Сначала найдем дискриминант \(D\):
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]
Теперь подставим значение дискриминанта в формулу:
\[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]
Решая это, получаем два значения для \(y\):
- \(y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
- \(y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)
Так как \(y = (x - 7)^2\), нужно рассмотреть оба случая.
Первый случай: \(y_1 = 2\)
Подставим это значение обратно в уравнение:
\[ (x - 7)^2 = 2 \]
Теперь решим это уравнение, извлекая корень:
\[ x - 7 = \pm \sqrt{2} \]
Отсюда имеем два возможных значения для \(x\):
\[ x = 7 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = 7 - \sqrt{2} \]
Второй случай: \(y_2 = -4\)
Для этого случая у нас:
\[ (x - 7)^2 = -4 \]
Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, этого случая значение \(x\) не имеет действительных корней.
Ответ:
Таким образом, действительные решения уравнения \((x-7)^4 + 2(x-7)^2 - 8 = 0\):
\[ x = 7 + \sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = 7 - \sqrt{2} \]
