Найти производную функции: a). f (x) = log_2(x) - x ^ 4 + 3/(x ^ 2) ). f(x) = (2cos x)/(e ^ x) ; . f(x) = 3 * root(x ^ 2, 3)

Давайте найдем производные указанных функций одну за другой. Напоминаю, что производная функции \( f(x) \) обозначается как \( f'(x) \).

a) \( f(x) = \log_2(x) - x^4 + \frac{3}{x^2} \)

1. Производная логарифмической функции: \[ \frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \] Здесь \( a = 2 \), таким образом: \[ \frac{d}{dx} \log_2(x) = \frac{1}{x \ln(2)} \]

2. Производная многочлена: \[ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} \] В нашем случае для \( -x^4 \): \[ \frac{d}{dx} (-x^4) = -4x^3 \]

3. Производная дробной функции: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{x^2}\right) = 3 \cdot \frac{d}{dx} (x^{-2}) = 3 \cdot (-2x^{-3}) = -\frac{6}{x^3} \]

4. Складываем все производные: Теперь соберем все вместе: \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} - 4x^3 - \frac{6}{x^3} \]

b) \( f(x) = \frac{2\cos(x)}{e^x} \)

Здесь мы используем правило деления для нахождения производной: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 2\cos(x) \) и \( v = e^x \).

1. Находим производную \( u \) и \( v \): \[ u = 2\cos(x) \quad \Rightarrow \quad u' = -2\sin(x) \] \[ v = e^x \quad \Rightarrow \quad v' = e^x \]

2. Подставляем в формулу: \[ f'(x) = \frac{(-2\sin(x))e^x - (2\cos(x))e^x}{(e^x)^2} \] Упрощаем: \[ f'(x) = \frac{e^x(-2\sin(x) - 2\cos(x))}{e^{2x}} = \frac{-2(\sin(x) + \cos(x))}{e^x} \]

c) \( f(x) = 3 \cdot \sqrt[3]{x^2} \)

Здесь можно переписать функцию в виде: \[ f(x) = 3 \cdot x^{2/3} \]

1. Нахождение производной: \[ f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = 2 \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} \]

Итоговые производные:

• a) \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} - 4x^3 - \frac{6}{x^3} \)
• b) \( f'(x) = \frac{-2(\sin(x) + \cos(x))}{e^x} \)
• c) \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснить что-то подробнее, дайте знать!