Найти производную функции: a). f (x) = log_2(x) - x ^ 4 + 3/(x ^ 2) ). f(x) = (2cos x)/(e ^ x) ; . f(x) = 3 * root(x ^ 2, 3)

Давайте найдем производные указанных функций одну за другой. Напоминаю, что производная функции \( f(x) \) обозначается как \( f'(x) \). ### a) \( f(x) = \log_2(x) - x^4 + \frac{3}{x^2} \) 1. **Производная логарифмической функции**: \[ \frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x \ln(a)} \] Здесь \( a = 2 \), таким образом: \[ \frac{d}{dx} \log_2(x) = \frac{1}{x \ln(2)} \] 2. **Производная многочлена**: \[ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} \] В нашем случае для \( -x^4 \): \[ \frac{d}{dx} (-x^4) = -4x^3 \] 3. **Производная дробной функции**: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{3}{x^2}\right) = 3 \cdot \frac{d}{dx} (x^{-2}) = 3 \cdot (-2x^{-3}) = -\frac{6}{x^3} \] 4. **Складываем все производные**: Теперь соберем все вместе: \[ f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} - 4x^3 - \frac{6}{x^3} \] ### b) \( f(x) = \frac{2\cos(x)}{e^x} \) Здесь мы используем правило деления для нахождения производной: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где \( u = 2\cos(x) \) и \( v = e^x \). 1. **Находим производную \( u \) и \( v \)**: \[ u = 2\cos(x) \quad \Rightarrow \quad u' = -2\sin(x) \] \[ v = e^x \quad \Rightarrow \quad v' = e^x \] 2. **Подставляем в формулу**: \[ f'(x) = \frac{(-2\sin(x))e^x - (2\cos(x))e^x}{(e^x)^2} \] Упрощаем: \[ f'(x) = \frac{e^x(-2\sin(x) - 2\cos(x))}{e^{2x}} = \frac{-2(\sin(x) + \cos(x))}{e^x} \] ### c) \( f(x) = 3 \cdot \sqrt[3]{x^2} \) Здесь можно переписать функцию в виде: \[ f(x) = 3 \cdot x^{2/3} \] 1. **Нахождение производной**: \[ f'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^{2/3}) = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = 2 \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} \] ### Итоговые производные: - a) \( f'(x) = \frac{1}{x \ln(2)} - 4x^3 - \frac{6}{x^3} \) - b) \( f'(x) = \frac{-2(\sin(x) + \cos(x))}{e^x} \) - c) \( f'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x^2}} \) Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется объяснить что-то подробнее, дайте знать!