3x²-14x+16=0

Давайте решим уравнение \(3x^2 - 14x + 16 = 0\) шаг за шагом.

Шаг 1: Понять уравнение

Это квадратное уравнение, которое имеет форму \(ax^2 + bx + c = 0\), где:

• \(a = 3\)
• \(b = -14\)
• \(c = 16\)

Шаг 2: Использовать дискриминант

Для решения квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставляем значения \(a\), \(b\) и \(c\): \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 \] \[ D = 196 - 192 \] \[ D = 4 \]

Шаг 3: Найти корни уравнения

Так как дискриминант \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня. Мы можем использовать формулу для нахождения корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{-(-14) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} \] \[ x_{1,2} = \frac{14 \pm 2}{6} \] Теперь разделим это выражение на два случая:

1. Первый корень: \[ x_1 = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \]

2. Второй корень: \[ x_2 = \frac{14 - 2}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]

Ответ

Таким образом, корни уравнения \(3x^2 - 14x + 16 = 0\): \[ x_1 = \frac{8}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = 2 \]

Шаг 4: Проверка корней

Для проверки, подставим найденные корни обратно в уравнение.

1. Подставляем \(x = \frac{8}{3}\): \[ 3\left(\frac{8}{3}\right)^2 - 14\left(\frac{8}{3}\right) + 16 = 3 \cdot \frac{64}{9} - \frac{112}{3} + 16 \] Преобразуем: \[ \frac{192}{9} - \frac{336}{9} + \frac{144}{9} = \frac{192 - 336 + 144}{9} = \frac{0}{9} = 0 \]

2. Подставляем \(x = 2\): \[ 3(2)^2 - 14(2) + 16 = 3 \cdot 4 - 28 + 16 = 12 - 28 + 16 = 0 \]

Обе проверки подтверждают, что наши корни верны.

Заключение

Корни уравнения \(3x^2 - 14x + 16 = 0\) — это \(x_1 = \frac{8}{3}\) и \(x_2 = 2\).