x(x²-7)=6

Давайте решим уравнение \( x(x^2 - 7) = 6 \) шаг за шагом.

Шаг 1: Привести уравнение к стандартному виду

Мы начнем с того, чтобы перенести все члены на одну сторону уравнения:

\[ x(x^2 - 7) - 6 = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ x^3 - 7x - 6 = 0 \]

Шаг 2: Найти корни уравнения

Теперь нам нужно найти корни этого кубического уравнения. Мы можем попробовать использовать метод подбора, чтобы найти один корень.

Проверим, например, \( x = 3 \):

\[ 3^3 - 7 \cdot 3 - 6 = 27 - 21 - 6 = 0 \]

Мы нашли корень: \( x = 3 \).

Шаг 3: Деление на \( (x - 3) \)

Теперь мы можем упростить уравнение, используя найденный корень. Мы можем разделить полином \( x^3 - 7x - 6 \) на \( x - 3 \) с помощью деления многочленов.

При делении:

1. \( x^3 \div x = x^2 \)
2. Умножаем: \( x^2(x - 3) = x^3 - 3x^2 \)
3. Вычитаем: \((x^3 - 7x - 6) - (x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 7x - 6 \)

Повторяем процесс деления:

1. \( 3x^2 \div x = 3x \)
2. Умножаем: \( 3x(x - 3) = 3x^2 - 9x \)
3. Вычитаем: \((3x^2 - 7x - 6) - (3x^2 - 9x) = 2x - 6\)

И один последний раз:

1. \( 2x \div x = 2 \)
2. Умножаем: \( 2(x - 3) = 2x - 6 \)
3. Вычитаем: \((2x - 6) - (2x - 6) = 0\)

Таким образом, мы можем записать:

\[ x^3 - 7x - 6 = (x - 3)(x^2 + 3x + 2) \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить уравнение \( x^2 + 3x + 2 = 0 \). Мы можем разложить его на множители:

\[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \]

Теперь находим корни \( x + 1 = 0 \) и \( x + 2 = 0 \):

\[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \]

Шаг 5: Запись всех корней

Таким образом, у нас есть три корня уравнения:

\[ x = 3, \quad x = -1, \quad x = -2 \]

Ответ

Корни уравнения \( x(x^2 - 7) = 6 \) равны:

\[ x = 3, \quad x = -1, \quad x = -2 \]

Надеюсь, это помогло вам понять, как решать подобные уравнения! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их.