В геометрической прогрессии с положительными членами b 10 = 95 6 и b 12 = 19 30 Найдите значение b 1
Чтобы найти значение первого члена геометрической прогрессии \( b_1 \), давайте воспользуемся данными, которые у нас есть:
- \( b_{10} = 95/6 \)
- \( b_{12} = 19/30 \)
Геометрическая прогрессия имеет вид:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]
где \( b_n \) — \( n \)-й член геометрической прогрессии, \( b_1 \) — первый член, а \( q \) — знаменатель прогрессии (общий множитель).
Таким образом, мы можем записать уравнения для \( b_{10} \) и \( b_{12} \):
\[ b_{10} = b_1 \cdot q^{9} = \frac{95}{6} \] \[ b_{12} = b_1 \cdot q^{11} = \frac{19}{30} \]
Теперь мы можем использовать эти два уравнения для нахождения \( q \):
Рассмотрим отношение второго уравнения к первому:
\[ \frac{b_{12}}{b_{10}} = \frac{b_1 \cdot q^{11}}{b_1 \cdot q^9} = \frac{q^{11}}{q^{9}} = q^2 \]
Теперь подставим значения:
\[ \frac{\frac{19}{30}}{\frac{95}{6}} = q^2 \]
Вычислим левую часть:
\[ \frac{19}{30} \cdot \frac{6}{95} = \frac{19 \cdot 6}{30 \cdot 95} = \frac{114}{2850} \]
Упростим дробь:
Так как 114 делится на 19:
\[ 114 = 19 \cdot 6 \quad \text{и} \quad 2850 = 30 \cdot 95 = 30 \cdot (19 \cdot 5) = 19 \cdot 150 \]
Следовательно, мы можем заменить:
\[ \frac{114}{2850} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25} \]
Итак:
\[ q^2 = \frac{1}{25} \]
Теперь найдем \( q \):
\[ q = \frac{1}{5} \]
Теперь, имея значение \( q \), мы можем подставить его обратно в одно из уравнений для нахождения \( b_1 \). Используем первое уравнение:
\[ b_{10} = b_1 \cdot q^9 \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{95}{6} = b_1 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^9 \]
Вычислим \( \left(\frac{1}{5}\right)^9 \):
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^9 = \frac{1}{1953125} \]
Теперь подставляем:
\[ \frac{95}{6} = b_1 \cdot \frac{1}{1953125} \]
Умножим на 1953125:
\[ b_1 = \frac{95}{6} \cdot 1953125 \]
Теперь делим:
Во-первых, найдите:
\[ 1953125 = 3125 \times 625 \]
И тогда при умножении:
\[ b_1 = \frac{95 \times 1953125}{6} \]
Это даст нам значение \( b_1 \). После вычислений мы можем получить точное значение.
В итоге:
\[ b_1 \approx 487500 \]
Так что значение первого члена геометрической прогрессии \( b_1 \) является приблизительно равным 487500.
