Три путника решили отправиться из села Антоновка в село Борисово. Первым вышел Иван, а через час вслед за ним отправился Семён. Еще через час после Семёна в Борисово направился Фёдор. Скорость Семёна на 2 км/ч больше скорости Ивана, но на 3 км/ч меньше скорости Фёдора. Через сколько часов после выхода Ивана Семён окажется на равном расстоянии от Фёдора и Ивана, если к этому моменту ближе всех к Борисово будет находиться Фёдор, а дальше всех Иван? Движение всех путников равномерное и прямолинейное.

Для решения задачи начнем с обозначения переменных и формулы для расстояния. Обозначим скорость Ивана как \( V_I \), скорость Семёна как \( V_S = V_I + 2 \), и скорость Фёдора как \( V_F = V_S + 3 = V_I + 5 \). Теперь, давайте обозначим время. Пусть \( t \) — время, прошедшее с момента, когда Иван вышел в дорогу. Тогда: 1. Иван идет \( t \) часов. 2. Семён выходит на час позже, то есть он идет \( t - 1 \) часов. 3. Фёдор выходит ещё через час, соответственно, он идет \( t - 2 \) часов. Теперь мы можем выразить расстояния, которые каждый из путников прошёл: - Расстояние Ивана: \[ D_I = V_I \cdot t \] - Расстояние Семёна: \[ D_S = V_S \cdot (t - 1) = (V_I + 2) \cdot (t - 1) \] - Расстояние Фёдора: \[ D_F = V_F \cdot (t - 2) = (V_I + 5) \cdot (t - 2) \] Теперь мы должны найти момент времени \( t \), когда Семён оказывается на равном расстоянии от Ивана и Фёдора, при условии, что Фёдор ближе всех к Борисово, а Иван дальше всех. 1. Для равенства расстояний от Семёна до Ивана и Фёдора: \[ |D_S - D_I| = |D_S - D_F| \] Сначала вычислим \( D_S - D_I \): \[ D_S - D_I = (V_I + 2)(t - 1) - V_I \cdot t = V_I t + 2(t - 1) - V_I t = 2(t - 1) = 2t - 2 \] Теперь вычислим \( D_S - D_F \): \[ D_S - D_F = (V_I + 2)(t - 1) - (V_I + 5)(t - 2) = (V_I + 2)(t - 1) - (V_I + 5)t + 10 \] Раскроем скобки: \[ = V_I t - V_I + 2t - 2 - V_I t - 5t + 10 = -3t + 8 \] Теперь подставим это в равенство: \[ |2t - 2| = |-3t + 8| \] Решим это уравнение для двух случаев: **Случай 1:** \( 2t - 2 = -3t + 8 \) \[ 2t + 3t = 8 + 2 \\ 5t = 10 \\ t = 2 \] **Случай 2:** \( 2t - 2 = 3t - 8 \) \[ 2t - 3t = -8 + 2 \\ -t = -6 \\ t = 6 \] Теперь определим, что происходит в каждый из найденных случаев. 1. Если \( t = 2 \): - Иван прошёл: \( D_I = V_I \cdot 2 \) - Семён прошёл: \( D_S = (V_I + 2) \cdot 1 = V_I + 2 \) - Фёдор не успел выйти. 2. Если \( t = 6 \): - Иван прошёл: \( D_I = V_I \cdot 6 \) - Семён прошёл: \( D_S = (V_I + 2)(5) = 5V_I + 10 \) - Фёдор прошёл: \( D_F = (V_I + 5)(4) = 4V_I + 20 \) Теперь убедимся, что Фёдор ближе всего к Борисово, а Иван дальше: - Сравним расстояния. Для этого нужно сравнить: \[ D_F < D_I \quad \text{и} \quad D_I > D_S. \] Теперь такие равенства в количественном выражении можно проверить, чтобы подтвердить, что выбранный случай соответствует условиям задачи. В итоге: Семён окажется на равном расстоянии от Фёдора и Ивана через 6 часов после выхода Ивана.