Пусть х1 и х2 - корни уравнения 4х^2-16х-4=0. Не решая уравнение, вычислите: А) х1^2+х2^2 Б) х1^3+х2^3 расписатт подробно шаги решения
Для решения задачи, воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения. Дадим подробные объяснения по каждому шагу.
Уравнение имеет вид:
\[ 4x^2 - 16x - 4 = 0 \]
Шаг 1: Применяем формулы Виета
Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где корни \( x_1 \) и \( x_2 \) подчиняются следующим формулaм:
- Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
- Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
Для нашего уравнения:
- \( a = 4 \)
- \( b = -16 \)
- \( c = -4 \)
Теперь можем вычислить сумму и произведение корней:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{-16}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \]
Шаг 2: Находим \( x_1^2 + x_2^2 \)
Используем формулу для суммы квадратов корней:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2 \]
Подставляем ранее найденные значения:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (4)^2 - 2(-1) = 16 + 2 = 18 \]
Ответ для пункта А
\[ x_1^2 + x_2^2 = 18 \]
Шаг 3: Находим \( x_1^3 + x_2^3 \)
Существует формула для суммы кубов корней:
\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) \]
Мы можем использовать \( x_1^2 + x_2^2 \) и \( x_1 \cdot x_2 \) для вычисления:
\[ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 \cdot x_2) \]
Подставляем значения:
- \( x_1 + x_2 = 4 \)
- \( x_1^2 + x_2^2 = 18 \)
- \( x_1 \cdot x_2 = -1 \)
Теперь подставим в формулу:
\[ x_1^3 + x_2^3 = 4 \left( 18 - (-1) \right) = 4(18 + 1) = 4 \times 19 = 76 \]
Ответ для пункта Б
\[ x_1^3 + x_2^3 = 76 \]
Итоговые ответы
А) \( x_1^2 + x_2^2 = 18 \)
Б) \( x_1^3 + x_2^3 = 76 \)
