Для решения задачи, воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения. Дадим подробные объяснения по каждому шагу.
Уравнение имеет вид:
[ 4x^2 - 16x - 4 = 0 ]
Шаг 1: Применяем формулы Виета
Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), где корни ( x_1 ) и ( x_2 ) подчиняются следующим формулaм:
- Сумма корней: ( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} )
- Произведение корней: ( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} )
Для нашего уравнения:
- ( a = 4 )
- ( b = -16 )
- ( c = -4 )
Теперь можем вычислить сумму и произведение корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{-16}{4} = \frac{16}{4} = 4
]
[
x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{4} = -1
]
Шаг 2: Находим ( x_1^2 + x_2^2 )
Используем формулу для суммы квадратов корней:
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2
]
Подставляем ранее найденные значения:
[
x_1^2 + x_2^2 = (4)^2 - 2(-1) = 16 + 2 = 18
]
Ответ для пункта А
[
x_1^2 + x_2^2 = 18
]
Шаг 3: Находим ( x_1^3 + x_2^3 )
Существует формула для суммы кубов корней:
[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)
]
Мы можем использовать ( x_1^2 + x_2^2 ) и ( x_1 \cdot x_2 ) для вычисления:
[
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 \cdot x_2)
]
Подставляем значения:
- ( x_1 + x_2 = 4 )
- ( x_1^2 + x_2^2 = 18 )
- ( x_1 \cdot x_2 = -1 )
Теперь подставим в формулу:
[
x_1^3 + x_2^3 = 4 \left( 18 - (-1) \right) = 4(18 + 1) = 4 \times 19 = 76
]
Ответ для пункта Б
[
x_1^3 + x_2^3 = 76
]
Итоговые ответы
А) ( x_1^2 + x_2^2 = 18 )
Б) ( x_1^3 + x_2^3 = 76 )
