Давайте решим эту задачу пошагово.
Обозначим:
- ( x ) — количество деталей, которые второй рабочий делает за час.
- Тогда первый рабочий делает ( x + 9 ) деталей за час.
Задача утверждает, что первый рабочий выполняет заказ из 112 деталей на 4 часа быстрее, чем второй. Это значит, что время, которое первый рабочий тратит на выполнение заказа, меньше времени, которое тратит второй рабочий на 4 часа.
Теперь давайте запишем формулы для времени, которое тратят каждый из рабочих на выполнение заказа:
Время, которое тратит первый рабочий:
[
t_1 = \frac{112}{x + 9}
]
Время, которое тратит второй рабочий:
[
t_2 = \frac{112}{x}
]
По условию задачи, первый рабочий выполняет заказ на 4 часа быстрее:
[
t_2 - t_1 = 4
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{112}{x} - \frac{112}{x + 9} = 4
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( x(x + 9) ), чтобы избавиться от дробей:
[
112(x + 9) - 112x = 4x(x + 9)
]
Раскроем скобки:
[
112x + 1008 - 112x = 4x^2 + 36x
]
[
1008 = 4x^2 + 36x
]
Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
[
4x^2 + 36x - 1008 = 0
]
Делим все уравнение на 4 для упрощения:
[
x^2 + 9x - 252 = 0
]
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 81 + 1008 = 1089
]
Теперь находим корни уравнения по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{1089}}{2}
]
Вычисляем ( \sqrt{1089} ), который равен 33:
[
x = \frac{-9 \pm 33}{2}
]
Теперь у нас два корня:
- ( x = \frac{24}{2} = 12 ) (допустимый, так как количество деталей положительно)
- ( x = \frac{-42}{2} = -21 ) (недопустимый, так как количество деталей не может быть отрицательным)
Следовательно, второй рабочий делает ( x = 12 ) деталей в час.
Ответ:
Второй рабочий делает 12 деталей в час.
