При каких значениях букв m и n равенство |m+n|=|m|+|n| будет нарушено?

Рассмотрим неравенство \( |m + n| = |m| + |n| \).

Шаг 1: Понимание модулей

Модуль числа (обозначается как \( |x| \)) — это расстояние числа \( x \) от нуля на числовой оси, и всегда неотрицательное. То есть, \( |x| \geq 0 \) для любого \( x \).

Шаг 2: Условия равенства

Равенство \( |m + n| = |m| + |n| \) выполняется в случае, если \( m \) и \( n \) имеют один и тот же знак (либо оба положительные, либо оба отрицательные, или хотя бы одно из них равно нулю). Это связано с тем, что в этих случаях сумма модулей равна модулю суммы.

Шаг 3: Нахождение нарушений

Чтобы равенство было нарушено, необходимо, чтобы \( m \) и \( n \) имели разные знаки. Это означает:

• Если \( m > 0 \) и \( n < 0 \) (или наоборот), то сумма \( m + n \) может быть меньше нуля, а значит, \( |m + n| \) будет отличаться от \( |m| + |n| \).

• Например, возьмем \( m = 3 \) и \( n = -4 \):

  • Тогда \( |m + n| = |3 - 4| = |-1| = 1 \)
  • А \( |m| + |n| = |3| + |-4| = 3 + 4 = 7 \)
  • Здесь \( |m + n| \neq |m| + |n| \).

Шаг 4: Общая форма

Таким образом, чтобы равенство \( |m + n| = |m| + |n| \) нарушилось, необходимо:

• \( m \) и \( n \) должны иметь разные знаки, то есть либо \( m > 0, n < 0 \) или \( m < 0, n > 0 \).
• Также они не могут быть равны, в этом случае \( m \) может быть равен нулю, что создаст специальный случай.

Заключение

Равенство \( |m+n| = |m| + |n| \) будет нарушено, когда \( m \) и \( n \) имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный) и оба не равны нулю.