Найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов 12 раз бросив монету

Чтобы найти вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты, мы можем использовать формулу для биномиального распределения. Вероятность получить определенное количество успехов (в данном случае — орлов) в серии независимых испытаний (бросков монеты) вычисляется по следующей формуле: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где: - \(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз; - \(n\) — общее количество испытаний; - \(k\) — количество успехов; - \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}\); - \(p\) — вероятность успеха в одном испытании (для справедливой монеты \(p = 0.5\)); - \((1 - p)\) — вероятность неудачи в одном испытании. В нашем случае: - \(n = 12\) (общее количество бросков), - \(k = 7\) (необходимое количество орлов), - \(p = 0.5\) (вероятность получить орла при каждом броске). Теперь подставим эти значения в формулу: 1. **Вычисление биномиального коэффициента \(C(12, 7)\):** \[ C(12, 7) = \frac{12!}{7!(12 - 7)!} = \frac{12!}{7!5!} \] Вычислим факториалы: - \(12! = 479001600\) - \(7! = 5040\) - \(5! = 120\) Теперь подставим числа: \[ C(12, 7) = \frac{479001600}{5040 \cdot 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 \] 2. **Подсчет вероятности:** Теперь мы можем подставить все значения в формулу вероятности: \[ P(X = 7) = C(12, 7) \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{12 - 7} = 792 \cdot (0.5)^{12} \] Вычислим \((0.5)^{12}\): \[ (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \] Таким образом, вероятность может быть записана как: \[ P(X = 7) = 792 \cdot \frac{1}{4096} \] Теперь посчитаем: \[ P(X = 7) = \frac{792}{4096} \approx 0.193359375 \] Итак, вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты примерно равна **0.193** или **19.3%**. Это означает, что если вы бросите монету 12 раз, то с вероятностью примерно 19.3% вы получите ровно 7 орлов.