найдите вероятность выбросить ровно 7 орлов 12 раз бросив монету
Чтобы найти вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты, мы можем использовать формулу для биномиального распределения. Вероятность получить определенное количество успехов (в данном случае — орлов) в серии независимых испытаний (бросков монеты) вычисляется по следующей формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдет ровно \(k\) раз;
- \(n\) — общее количество испытаний;
- \(k\) — количество успехов;
- \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}\);
- \(p\) — вероятность успеха в одном испытании (для справедливой монеты \(p = 0.5\));
- \((1 - p)\) — вероятность неудачи в одном испытании.
В нашем случае:
- \(n = 12\) (общее количество бросков),
- \(k = 7\) (необходимое количество орлов),
- \(p = 0.5\) (вероятность получить орла при каждом броске).
Теперь подставим эти значения в формулу:
- Вычисление биномиального коэффициента \(C(12, 7)\):
\[ C(12, 7) = \frac{12!}{7!(12 - 7)!} = \frac{12!}{7!5!} \]
Вычислим факториалы:
- \(12! = 479001600\)
- \(7! = 5040\)
- \(5! = 120\)
Теперь подставим числа:
\[ C(12, 7) = \frac{479001600}{5040 \cdot 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 \]
- Подсчет вероятности:
Теперь мы можем подставить все значения в формулу вероятности:
\[ P(X = 7) = C(12, 7) \cdot (0.5)^7 \cdot (0.5)^{12 - 7} = 792 \cdot (0.5)^{12} \]
Вычислим \((0.5)^{12}\):
\[ (0.5)^{12} = \frac{1}{4096} \]
Таким образом, вероятность может быть записана как:
\[ P(X = 7) = 792 \cdot \frac{1}{4096} \]
Теперь посчитаем:
\[ P(X = 7) = \frac{792}{4096} \approx 0.193359375 \]
Итак, вероятность выбросить ровно 7 орлов при 12 бросках монеты примерно равна 0.193 или 19.3%.
Это означает, что если вы бросите монету 12 раз, то с вероятностью примерно 19.3% вы получите ровно 7 орлов.
