При каком значении x значения выражений x+2,5x и 15x являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Чтобы решить задачу, нам нужно определить, при каком значении \( x \) выражения \( x + 2 \), \( 5x \) и \( 15x \) будут последовательными членами геометрической прогрессии. Для того чтобы три числа \( a \), \( b \) и \( c \) образовывали геометрическую прогрессию, должно выполняться следующее условие: \[ b^2 = a \cdot c \] В нашем случае: - \( a = x + 2 \) - \( b = 5x \) - \( c = 15x \) Теперь мы можем подставить эти значения в условие геометрической прогрессии: \[ (5x)^2 = (x + 2)(15x) \] Теперь упростим обе стороны уравнения: 1. Сначала найдем \( (5x)^2 \): \[ (5x)^2 = 25x^2 \] 2. Теперь найдем правую часть уравнения: \[ (x + 2)(15x) = 15x^2 + 30x \] Теперь у нас есть: \[ 25x^2 = 15x^2 + 30x \] Преобразуем уравнение, убрав \( 15x^2 \) из обеих сторон: \[ 25x^2 - 15x^2 = 30x \] Это дает: \[ 10x^2 = 30x \] Теперь разделим обе стороны на \( 10 \) (если \( x \neq 0 \)): \[ x^2 = 3x \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 - 3x = 0 \] Теперь можем вынести \( x \) за скобку: \[ x(x - 3) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: 1. \( x = 0 \) 2. \( x - 3 = 0 \) или \( x = 3 \) Таким образом, возможные значения \( x \): \( x = 0 \) и \( x = 3 \). ### Проверка: - Если \( x = 0 \): - \( a = 0 + 2 = 2 \) - \( b = 5 \cdot 0 = 0 \) - \( c = 15 \cdot 0 = 0 \) - Можно заметить, что 0 не может быть членом геометрической прогрессии вместе с другим числом, поэтому это значение не подходит. - Если \( x = 3 \): - \( a = 3 + 2 = 5 \) - \( b = 5 \cdot 3 = 15 \) - \( c = 15 \cdot 3 = 45 \) Проверим, образуют ли числа \( 5 \), \( 15 \) и \( 45 \) геометрическую прогрессию: \[ (15)^2 = 5 \cdot 45 \] \[ 225 = 225 \] Это истинное равенство. Таким образом, при \( x = 3 \) выражения \( x + 2 \), \( 5x \) и \( 15x \) действительно являются последовательными членами геометрической прогрессии. ### Ответ: При \( x = 3 \) значения выражений \( x + 2 \), \( 5x \) и \( 15x \) являются последовательными членами геометрической прогрессии.