В прямоугольном параллелепипеде A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ известны длины рёбер: A B = 3 AB=3 , B C = 9 BC=9 и A A 1 = 4 AA 1 ​ =4 . Найди градусную меру…

Для решения задачи о нахождении градусной меры двугранного угла в прямоугольном параллелепипеде, давайте сначала определим необходимые составляющие. Мы знаем, что параллелепипед имеет длины рёбер:

• \( AB = 3 \)
• \( BC = 9 \)
• \( AA_1 = 4 \)

Шаг 1: Определение координат вершин

Разместим вершины параллелепипеда в 3D-пространстве:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B(3, 0, 0) \)
• \( C(3, 9, 0) \)
• \( D(0, 9, 0) \)
• \( A_1(0, 0, 4) \)
• \( B_1(3, 0, 4) \)
• \( C_1(3, 9, 4) \)
• \( D_1(0, 9, 4) \)

Шаг 2: Определение необходимых векторов

Чтобы найти двугранный угол \(\angle B B_1 A_1 D_1\), нам нужно определить векторы, образующие этот угол.

1. Вектор \( \overrightarrow{B B_1} \):

   • \( B_1 - B = (3, 0, 4) - (3, 0, 0) = (0, 0, 4) \)

2. Вектор \( \overrightarrow{A_1 D_1} \):

   • \( D_1 - A_1 = (0, 9, 4) - (0, 0, 4) = (0, 9, 0) \)

Шаг 3: Нахождение угла между векторами

Используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{B B_1} \cdot \overrightarrow{A_1 D_1}}{|\overrightarrow{B B_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1 D_1}|} \]

3.1: Вычисление скалярного произведения

Скалярное произведение: \[ \overrightarrow{B B_1} \cdot \overrightarrow{A_1 D_1} = (0, 0, 4) \cdot (0, 9, 0) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 9 + 4 \cdot 0 = 0 \]

3.2: Нахождение модулей векторов

\[ |\overrightarrow{B B_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4 \] \[ |\overrightarrow{A_1 D_1}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 0^2} = 9 \]

Шаг 4: Подставим значения в формулу

Теперь подставим найденные значения в формулу для нахождения косинуса: \[ \cos \theta = \frac{0}{4 \cdot 9} = 0 \]

Шаг 5: Нахождение угла

Так как \(\cos \theta = 0\), это означает, что угол \(\theta = 90^\circ\).

Ответ

Градусная мера двугранного угла \( B B_1 A_1 D_1 \) равна \( 90^\circ \).