В прямоугольном параллелепипеде
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны длины рёбер:
A
B
=
3
AB=3,
B
C
=
9
BC=9 и
A
A
1
=
4
AA
1
=4. Найди градусную меру двугранного угла
B
B
1
A
1
D
1
BB
1
A
1
Для решения задачи о нахождении градусной меры двугранного угла в прямоугольном параллелепипеде, давайте сначала определим необходимые составляющие. Мы знаем, что параллелепипед имеет длины рёбер:
- \( AB = 3 \)
- \( BC = 9 \)
- \( AA_1 = 4 \)
### Шаг 1: Определение координат вершин
Разместим вершины параллелепипеда в 3D-пространстве:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(3, 0, 0) \)
- \( C(3, 9, 0) \)
- \( D(0, 9, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 4) \)
- \( B_1(3, 0, 4) \)
- \( C_1(3, 9, 4) \)
- \( D_1(0, 9, 4) \)
### Шаг 2: Определение необходимых векторов
Чтобы найти двугранный угол \(\angle B B_1 A_1 D_1\), нам нужно определить векторы, образующие этот угол.
1. Вектор \( \overrightarrow{B B_1} \):
- \( B_1 - B = (3, 0, 4) - (3, 0, 0) = (0, 0, 4) \)
2. Вектор \( \overrightarrow{A_1 D_1} \):
- \( D_1 - A_1 = (0, 9, 4) - (0, 0, 4) = (0, 9, 0) \)
### Шаг 3: Нахождение угла между векторами
Используем формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{B B_1} \cdot \overrightarrow{A_1 D_1}}{|\overrightarrow{B B_1}| \cdot |\overrightarrow{A_1 D_1}|}
\]
#### 3.1: Вычисление скалярного произведения
Скалярное произведение:
\[
\overrightarrow{B B_1} \cdot \overrightarrow{A_1 D_1} = (0, 0, 4) \cdot (0, 9, 0) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 9 + 4 \cdot 0 = 0
\]
#### 3.2: Нахождение модулей векторов
\[
|\overrightarrow{B B_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 4^2} = 4
\]
\[
|\overrightarrow{A_1 D_1}| = \sqrt{0^2 + 9^2 + 0^2} = 9
\]
### Шаг 4: Подставим значения в формулу
Теперь подставим найденные значения в формулу для нахождения косинуса:
\[
\cos \theta = \frac{0}{4 \cdot 9} = 0
\]
### Шаг 5: Нахождение угла
Так как \(\cos \theta = 0\), это означает, что угол \(\theta = 90^\circ\).
### Ответ
Градусная мера двугранного угла \( B B_1 A_1 D_1 \) равна \( 90^\circ \).
