Задача 1: Работа с функцией y = -x² - 2x + 15
А) Найдите значение функции f(-5) и f(2).
Шаг 1: Подставим значение x = -5 в функцию y = -x² - 2x + 15.
[
f(-5) = -(-5)² - 2(-5) + 15
]
[
= -25 + 10 + 15
]
[
= 0
]
Шаг 2: Подставим значение x = 2 в функцию y = -x² - 2x + 15.
[
f(2) = -(2)² - 2(2) + 15
]
[
= -4 - 4 + 15
]
[
= 7
]
Ответ:
f(-5) = 0, f(2) = 7.
Б) График функции проходит через точку (k; 7). Найдите значение k.
Шаг 1: Подставим y = 7 в уравнение функции:
[
7 = -k² - 2k + 15
]
Шаг 2: Преобразуем уравнение:
[
0 = -k² - 2k + 15 - 7
]
[
0 = -k² - 2k + 8
]
[
k² + 2k - 8 = 0
]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
[
D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36
]
Шаг 4: Найдем корни уравнения:
[
k = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2}
]
[
k₁ = \frac{4}{2} = 2, \quad k₂ = \frac{-8}{2} = -4
]
Ответ:
k = 2 или k = -4.
Задача 2: Мяч брошен вертикально вверх
Дана формула:
[
h = 28t - 5t²
]
- Какой наибольшей высоты достигнет мяч?
Шаг 1: Найдем вершину параболы. Формула для времени, когда мяч достигнет максимальной высоты:
[
t_{макс} = -\frac{b}{2a} = -\frac{28}{2 \cdot -5} = \frac{28}{10} = 2.8 \text{ секунд}
]
Шаг 2: Подставим t = 2.8 в формулу для высоты h:
[
h(2.8) = 28(2.8) - 5(2.8)²
]
[
= 78.4 - 5(7.84)
]
[
= 78.4 - 39.2 = 39.2 \text{ метров}
]
Ответ:
Наибольшая высота, которую достигнет мяч, составляет 39.2 метра.
- Через сколько секунд после броска мяч упадет на землю?
Шаг 1: Найдем время t, когда h = 0:
[
0 = 28t - 5t²
]
Шаг 2: Вынесем t за скобки:
[
t(28 - 5t) = 0
]
Шаг 3: Найдем корни уравнения:
[
t = 0 \quad \text{или} \quad 28 - 5t = 0
]
[
5t = 28 \quad \Rightarrow \quad t = \frac{28}{5} = 5.6 \text{ секунд}
]
Ответ:
Мяч упадет на землю через 5.6 секунд.
Задача 3: Постройте график функции y = x² + 4x + 2
Шаг 1: Преобразуем уравнение в каноническую форму:
[
y = x² + 4x + 2
]
Шаг 2: Найдем координаты вершины параболы (x_{верш}, y_{верш}):
[
x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2
]
[
y_{верш} = (-2)² + 4(-2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2
]
Вершина параболы находится в точке (-2, -2).
Шаг 3: Найдем значения функции в нескольких точках для построения графика:
Для x = -3:
[
y = (-3)² + 4(-3) + 2 = 9 - 12 + 2 = -1
]
Для x = -1:
[
y = (-1)² + 4(-1) + 2 = 1 - 4 + 2 = -1
]
Для x = 0:
[
y = (0)² + 4(0) + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
]
Шаг 4: Наносим точки на график:
- (-3, -1)
- (-2, -2)
- (-1, -1)
- (0, 2)
График будет параболой, открытой вверх, с вершиной в (-2, -2).
Итог:
- Наибольшая высота мяча: 39.2 м.
- Время падения на землю: 5.6 секунд.
- График функции проиллюстрирован с вершиной (-2, -2).
