Вариант 2 1. Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2). 2.Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М(1;-3) и которая…

Давайте последовательно решим каждую из задач.

Задача 1: Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2).

Шаг 1: Нахождение длины отрезка

Длину отрезка AB можно найти с помощью формулы для расстояния между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты точек A и B:

• \(x_1 = -3, y_1 = -4\)
• \(x_2 = 5, y_2 = -2\)

Подставим в формулу: \[ d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2} \] \[ d = \sqrt{(5 + 3)^2 + (-2 + 4)^2} \] \[ d = \sqrt{(8)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \]

Шаг 2: Нахождение координат середины отрезка

Координаты середины отрезка можно найти по формуле: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Подставим координаты точек A и B: \[ M\left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{-4 + (-2)}{2}\right) = M\left(\frac{2}{2}, \frac{-6}{2}\right) = M(1, -3) \]

Ответ:

• Длина отрезка AB: \(2\sqrt{17}\)
• Координаты середины: \(M(1, -3)\)

Задача 2: Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М(1;-3) и которая проходит через точку В(-2; 5).

Шаг 1: Нахождение радиуса окружности

Радиус можно найти, используя формулу расстояния между центром окружности и точкой на ней: \[ r = d(M, B) = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2} \] Подставим координаты точки M и точки B:

• \(x_M = 1, y_M = -3\)
• \(x_B = -2, y_B = 5\)

Подставим в формулу: \[ r = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2} \] \[ r = \sqrt{(-3)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73} \]

Шаг 2: Уравнение окружности

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2 \] Подставим найденные значения: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{73})^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73 \]

Ответ:

Уравнение окружности: \((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73\)

Задача 3: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки N (-3; 7) и Κ. (5; -3).

Шаг 1: Нахождение углового коэффициента (k)

Угловой коэффициент \(k\) можно найти по формуле: \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Подставим координаты точек N и K:

• \(x_1 = -3, y_1 = 7\)
• \(x_2 = 5, y_2 = -3\)

Подставим в формулу: \[ k = \frac{-3 - 7}{5 - (-3)} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4} \]

Шаг 2: Запись уравнения прямой

Используем уравнение прямой в виде \(y - y_1 = k(x - x_1)\): \[ y - 7 = -\frac{5}{4}(x + 3) \] Разложим уравнение: \[ y - 7 = -\frac{5}{4}x - \frac{15}{4} \] Приведем все к общему виду: \[ y = -\frac{5}{4}x + 7 - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{28}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4} \]

Ответ:

Уравнение прямой: \(y = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4}\)

Таким образом, все задачи успешно решены с детальными объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!