Давайте последовательно решим каждую из задач.
Задача 1: Найдите длину отрезка АВ и координаты его середины, если А(-3;-4) и В(5;-2).
Шаг 1: Нахождение длины отрезка
Длину отрезка AB можно найти с помощью формулы для расстояния между двумя точками (A(x_1, y_1)) и (B(x_2, y_2)):
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
Подставим координаты точек A и B:
- (x_1 = -3, y_1 = -4)
- (x_2 = 5, y_2 = -2)
Подставим в формулу:
[
d = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - (-4))^2}
]
[
d = \sqrt{(5 + 3)^2 + (-2 + 4)^2}
]
[
d = \sqrt{(8)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}
]
Шаг 2: Нахождение координат середины отрезка
Координаты середины отрезка можно найти по формуле:
[
M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
]
Подставим координаты точек A и B:
[
M\left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{-4 + (-2)}{2}\right) = M\left(\frac{2}{2}, \frac{-6}{2}\right) = M(1, -3)
]
Ответ:
- Длина отрезка AB: (2\sqrt{17})
- Координаты середины: (M(1, -3))
Задача 2: Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке М(1;-3) и которая проходит через точку В(-2; 5).
Шаг 1: Нахождение радиуса окружности
Радиус можно найти, используя формулу расстояния между центром окружности и точкой на ней:
[
r = d(M, B) = \sqrt{(x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2}
]
Подставим координаты точки M и точки B:
- (x_M = 1, y_M = -3)
- (x_B = -2, y_B = 5)
Подставим в формулу:
[
r = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (5 - (-3))^2}
]
[
r = \sqrt{(-3)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}
]
Шаг 2: Уравнение окружности
Уравнение окружности имеет вид:
[
(x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 = r^2
]
Подставим найденные значения:
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = (\sqrt{73})^2
]
[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73
]
Ответ:
Уравнение окружности: ((x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 73)
Задача 3: Составьте уравнение прямой, проходящей через точки N (-3; 7) и Κ. (5; -3).
Шаг 1: Нахождение углового коэффициента (k)
Угловой коэффициент (k) можно найти по формуле:
[
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
]
Подставим координаты точек N и K:
- (x_1 = -3, y_1 = 7)
- (x_2 = 5, y_2 = -3)
Подставим в формулу:
[
k = \frac{-3 - 7}{5 - (-3)} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}
]
Шаг 2: Запись уравнения прямой
Используем уравнение прямой в виде (y - y_1 = k(x - x_1)):
[
y - 7 = -\frac{5}{4}(x + 3)
]
Разложим уравнение:
[
y - 7 = -\frac{5}{4}x - \frac{15}{4}
]
Приведем все к общему виду:
[
y = -\frac{5}{4}x + 7 - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{28}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4}
]
Ответ:
Уравнение прямой: (y = -\frac{5}{4}x + \frac{13}{4})
Таким образом, все задачи успешно решены с детальными объяснениями. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
