Решим задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник, один из катетов равен 8, а гипотенуза больше второго катета на 2. Необходимо найти радиус окружности, в которую вписан этот треугольник.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
Давайте обозначим:
- Один катет ( a = 8 ).
- Второй катет ( b ).
- Гипотенуза ( c ), которая равна ( b + 2 ).
Шаг 2: Используем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины катетов:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
(b + 2)^2 = 8^2 + b^2
]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Раскроим скобки:
[
b^2 + 4b + 4 = 64 + b^2
]
Теперь вычтем ( b^2 ) из обеих сторон:
[
4b + 4 = 64
]
Шаг 4: Решим уравнение
Вычтем 4 из обеих сторон:
[
4b = 60
]
И теперь поделим на 4:
[
b = 15
]
Шаг 5: Найдем гипотенузу
Теперь мы можем найти ( c ):
[
c = b + 2 = 15 + 2 = 17
]
Шаг 6: Найдем радиус окружности
Радиус окружности ( R ), описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы:
[
R = \frac{c}{2} = \frac{17}{2} = 8.5
]
Ответ
Радиус данной окружности равен ( 8.5 ).
Таким образом, мы нашли радиус окружности, в которую вписан данный прямоугольный треугольник.
