Один из катетов прямоугольного треугольника, вписанного в окружность равен 8, гипотенуза больше второго катета на 2., Найдите ра- диус данной окружности.
Решим задачу шаг за шагом. У нас есть прямоугольный треугольник, один из катетов равен 8, а гипотенуза больше второго катета на 2. Необходимо найти радиус окружности, в которую вписан этот треугольник.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
Давайте обозначим:
- Один катет \( a = 8 \).
- Второй катет \( b \).
- Гипотенуза \( c \), которая равна \( b + 2 \).
Шаг 2: Используем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длины катетов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим известные значения:
\[ (b + 2)^2 = 8^2 + b^2 \]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение
Раскроим скобки:
\[ b^2 + 4b + 4 = 64 + b^2 \]
Теперь вычтем \( b^2 \) из обеих сторон:
\[ 4b + 4 = 64 \]
Шаг 4: Решим уравнение
Вычтем 4 из обеих сторон:
\[ 4b = 60 \]
И теперь поделим на 4:
\[ b = 15 \]
Шаг 5: Найдем гипотенузу
Теперь мы можем найти \( c \):
\[ c = b + 2 = 15 + 2 = 17 \]
Шаг 6: Найдем радиус окружности
Радиус окружности \( R \), описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы:
\[ R = \frac{c}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]
Ответ
Радиус данной окружности равен \( 8.5 \).
Таким образом, мы нашли радиус окружности, в которую вписан данный прямоугольный треугольник.
