Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если в4= 4 и в6=16.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, сначала нам нужно определить её параметры. У нас есть два члена прогрессии: \( b_4 = 4 \) и \( b_6 = 16 \).

Шаг 1: Определение первого члена и знаменателя

Геометрическая прогрессия задается формулой:

\[ b_n = a \cdot r^{n-1} \]

где:

• \( b_n \) — n-й член прогрессии,
• \( a \) — первый член прогрессии,
• \( r \) — знаменатель прогрессии.

Для данного примера:

• \( b_4 = a \cdot r^{3} = 4 \)
• \( b_6 = a \cdot r^{5} = 16 \)

Шаг 2: Составление системы уравнений

Мы имеем два уравнения:

1. \( a \cdot r^3 = 4 \) (1)
2. \( a \cdot r^5 = 16 \) (2)

Теперь мы можем разделить (2) на (1), чтобы исключить \( a \):

\[ \frac{a \cdot r^5}{a \cdot r^3} = \frac{16}{4} \]

Это упрощается до:

\[ r^2 = 4 \]

Отсюда \( r = 2 \) (поскольку мы рассматриваем положительные значения для геометрической прогрессии).

Шаг 3: Определение первого члена

Теперь подставим найденное значение \( r \) в (1):

\[ a \cdot 2^3 = 4 \]

Это уравнение становится:

\[ a \cdot 8 = 4 \]

Следовательно,

\[ a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Шаг 4: Нахождение первых пяти членов прогрессии

Теперь мы знаем:

• Первый член \( a = \frac{1}{2} \)
• Знаменатель \( r = 2 \)

Теперь можем найти первые пять членов:

1. \( b_1 = a = \frac{1}{2} \)
2. \( b_2 = a \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \)
3. \( b_3 = a \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 \)
4. \( b_4 = a \cdot r^3 = \frac{1}{2} \cdot 2^3 = 4 \)
5. \( b_5 = a \cdot r^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^4 = 8 \)

Шаг 5: Нахождение суммы первых пяти членов

Теперь можем найти сумму первых пяти членов:

\[ S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{1}{2} + 1 + 2 + 4 + 8 \]

Шаг 6: Подсчет суммы

Рассчитаем сумму:

\[ S_5 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ S_5 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \] \[ S_5 = \frac{7}{2} + 4 = \frac{15}{2} \] \[ S_5 = \frac{15}{2} + 8 = \frac{15}{2} + \frac{16}{2} = \frac{31}{2} \]

Итоговый ответ

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна:

\[ S_5 = \frac{31}{2} = 15.5 \]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет 15.5.