Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если в4= 4 и в6=16.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, сначала нам нужно определить её параметры. У нас есть два члена прогрессии: \( b_4 = 4 \) и \( b_6 = 16 \). ### Шаг 1: Определение первого члена и знаменателя Геометрическая прогрессия задается формулой: \[ b_n = a \cdot r^{n-1} \] где: - \( b_n \) — n-й член прогрессии, - \( a \) — первый член прогрессии, - \( r \) — знаменатель прогрессии. Для данного примера: - \( b_4 = a \cdot r^{3} = 4 \) - \( b_6 = a \cdot r^{5} = 16 \) ### Шаг 2: Составление системы уравнений Мы имеем два уравнения: 1. \( a \cdot r^3 = 4 \) (1) 2. \( a \cdot r^5 = 16 \) (2) Теперь мы можем разделить (2) на (1), чтобы исключить \( a \): \[ \frac{a \cdot r^5}{a \cdot r^3} = \frac{16}{4} \] Это упрощается до: \[ r^2 = 4 \] Отсюда \( r = 2 \) (поскольку мы рассматриваем положительные значения для геометрической прогрессии). ### Шаг 3: Определение первого члена Теперь подставим найденное значение \( r \) в (1): \[ a \cdot 2^3 = 4 \] Это уравнение становится: \[ a \cdot 8 = 4 \] Следовательно, \[ a = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \] ### Шаг 4: Нахождение первых пяти членов прогрессии Теперь мы знаем: - Первый член \( a = \frac{1}{2} \) - Знаменатель \( r = 2 \) Теперь можем найти первые пять членов: 1. \( b_1 = a = \frac{1}{2} \) 2. \( b_2 = a \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \) 3. \( b_3 = a \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2 \) 4. \( b_4 = a \cdot r^3 = \frac{1}{2} \cdot 2^3 = 4 \) 5. \( b_5 = a \cdot r^4 = \frac{1}{2} \cdot 2^4 = 8 \) ### Шаг 5: Нахождение суммы первых пяти членов Теперь можем найти сумму первых пяти членов: \[ S_5 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 = \frac{1}{2} + 1 + 2 + 4 + 8 \] ### Шаг 6: Подсчет суммы Рассчитаем сумму: \[ S_5 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \] \[ S_5 = \frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2} \] \[ S_5 = \frac{7}{2} + 4 = \frac{15}{2} \] \[ S_5 = \frac{15}{2} + 8 = \frac{15}{2} + \frac{16}{2} = \frac{31}{2} \] ### Итоговый ответ Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна: \[ S_5 = \frac{31}{2} = 15.5 \] Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии составляет 15.5.