решите систему x+y=1 x^2+y^2=25

Для решения системы уравнений:

1. \( x + y = 1 \)
2. \( x^2 + y^2 = 25 \)

начнем с первого уравнения. Из него можно выразить одну переменную через другую. Например, выразим \( y \):

\[ y = 1 - x \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ x^2 + (1 - x)^2 = 25 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + (1 - 2x + x^2) = 25 \]

Соберем подобные члены:

\[ 2x^2 - 2x + 1 = 25 \]

Теперь перенесем 25 в левую часть уравнения:

\[ 2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0 \]

Упростим:

\[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 \]

Теперь можно разделить все члены на 2, чтобы упростить уравнение:

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой solving quadratic equation:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = -1, c = -12 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \]

Упростим:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \]

Таким образом у нас два возможных значения для \( x \):

1. \( x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь найдем соответствующие значения для \( y \) используя \( y = 1 - x \):

1. Если \( x = 4 \): \[ y = 1 - 4 = -3 \]

2. Если \( x = -3 \): \[ y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \]

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

1. \( (x, y) = (4, -3) \)
2. \( (x, y) = (-3, 4) \)

Проверим каждую пару, подставив их обратно во второе уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \):

1. Для \( (4, -3) \): \[ 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25 \]

2. Для \( (-3, 4) \): \[ (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]

Обе пары решений удовлетворяют системе уравнений. Таким образом, окончательный ответ:

Решения: \( (4, -3) \) и \( (-3, 4) \).