Решите систему x+y=1 x^2+y^2=25

Для решения системы уравнений: 1. \( x + y = 1 \) 2. \( x^2 + y^2 = 25 \) начнем с первого уравнения. Из него можно выразить одну переменную через другую. Например, выразим \( y \): \[ y = 1 - x \] Теперь подставим это значение во второе уравнение: \[ x^2 + (1 - x)^2 = 25 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (1 - 2x + x^2) = 25 \] Соберем подобные члены: \[ 2x^2 - 2x + 1 = 25 \] Теперь перенесем 25 в левую часть уравнения: \[ 2x^2 - 2x + 1 - 25 = 0 \] Упростим: \[ 2x^2 - 2x - 24 = 0 \] Теперь можно разделить все члены на 2, чтобы упростить уравнение: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой solving quadratic equation: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -1, c = -12 \). Подставим значения: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} \] Упростим: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 7}{2} \] Таким образом у нас два возможных значения для \( x \): 1. \( x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) 2. \( x = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) Теперь найдем соответствующие значения для \( y \) используя \( y = 1 - x \): 1. Если \( x = 4 \): \[ y = 1 - 4 = -3 \] 2. Если \( x = -3 \): \[ y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \] Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений: 1. \( (x, y) = (4, -3) \) 2. \( (x, y) = (-3, 4) \) Проверим каждую пару, подставив их обратно во второе уравнение \( x^2 + y^2 = 25 \): 1. Для \( (4, -3) \): \[ 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25 \] 2. Для \( (-3, 4) \): \[ (-3)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Обе пары решений удовлетворяют системе уравнений. Таким образом, окончательный ответ: **Решения: \( (4, -3) \) и \( (-3, 4) \)**.