Определить характер выпуклости графика функции Б)) у = - x3 - 4x2 + 5

Для определения характера выпуклости графика функции необходимо проанализировать вторую производную функции. Мы будем использовать заданную функцию \( y = -x^3 - 4x^2 + 5 \). **Шаг 1: Найдем первую производную функции.** Первая производная функции \( y \) по переменной \( x \) обозначается как \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 4x^2 + 5) \] Теперь найдем производные каждого члена функции: 1. Производная от \( -x^3 \) равна \( -3x^2 \). 2. Производная от \( -4x^2 \) равна \( -8x \). 3. Производная от константы \( 5 \) равна \( 0 \). Сложив все части, получаем: \[ y' = -3x^2 - 8x \] **Шаг 2: Найдем вторую производную функции.** Теперь вычислим вторую производную \( y'' \) по переменной \( x \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 8x) \] Находим производные каждого члена: 1. Производная от \( -3x^2 \) равна \( -6x \). 2. Производная от \( -8x \) равна \( -8 \). Таким образом, вторая производная будет: \[ y'' = -6x - 8 \] **Шаг 3: Определим характер выпуклости.** Характер выпуклости графика функции определяется знаком второй производной: - Если \( y'' > 0 \) на некотором интервале, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. - Если \( y'' < 0 \) на некотором интервале, то график функции в этом интервале выпуклый вниз. Решим неравенство \( -6x - 8 = 0 \) для нахождения критических точек: \[ -6x - 8 = 0 \implies -6x = 8 \implies x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \] **Шаг 4: Анализ знака второй производной.** Теперь определим знак второй производной на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (-\frac{4}{3}, \infty) \). 1. Для \( x < -\frac{4}{3} \) (например, подставим \( x = -2 \)): \[ y''(-2) = -6(-2) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 \] Значит, на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) график функции выпуклый вверх. 2. Для \( x > -\frac{4}{3} \) (например, подставим \( x = 0 \)): \[ y''(0) = -6(0) - 8 = -8 < 0 \] Значит, на интервале \( (-\frac{4}{3}, \infty) \) график функции выпуклый вниз. **Итог:** - График функции \( y = -x^3 - 4x^2 + 5 \) выпуклый вверх на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \). - График функции выпуклый вниз на интервале \( (-\frac{4}{3}, \infty) \). Таким образом, мы определили характер выпуклости графика функции с помощью первой и второй производной.