Определить характер выпуклости графика функции Б)) у = - x3 - 4x2 + 5
Для определения характера выпуклости графика функции необходимо проанализировать вторую производную функции. Мы будем использовать заданную функцию \( y = -x^3 - 4x^2 + 5 \).
Шаг 1: Найдем первую производную функции.
Первая производная функции \( y \) по переменной \( x \) обозначается как \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 - 4x^2 + 5) \]
Теперь найдем производные каждого члена функции:
- Производная от \( -x^3 \) равна \( -3x^2 \).
- Производная от \( -4x^2 \) равна \( -8x \).
- Производная от константы \( 5 \) равна \( 0 \).
Сложив все части, получаем:
\[ y' = -3x^2 - 8x \]
Шаг 2: Найдем вторую производную функции.
Теперь вычислим вторую производную \( y'' \) по переменной \( x \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 - 8x) \]
Находим производные каждого члена:
- Производная от \( -3x^2 \) равна \( -6x \).
- Производная от \( -8x \) равна \( -8 \).
Таким образом, вторая производная будет:
\[ y'' = -6x - 8 \]
Шаг 3: Определим характер выпуклости.
Характер выпуклости графика функции определяется знаком второй производной:
- Если \( y'' > 0 \) на некотором интервале, то график функции в этом интервале выпуклый вверх.
- Если \( y'' < 0 \) на некотором интервале, то график функции в этом интервале выпуклый вниз.
Решим неравенство \( -6x - 8 = 0 \) для нахождения критических точек:
\[ -6x - 8 = 0 \implies -6x = 8 \implies x = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \]
Шаг 4: Анализ знака второй производной.
Теперь определим знак второй производной на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) и \( (-\frac{4}{3}, \infty) \).
Для \( x < -\frac{4}{3} \) (например, подставим \( x = -2 \)): \[ y''(-2) = -6(-2) - 8 = 12 - 8 = 4 > 0 \] Значит, на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \) график функции выпуклый вверх.
Для \( x > -\frac{4}{3} \) (например, подставим \( x = 0 \)): \[ y''(0) = -6(0) - 8 = -8 < 0 \] Значит, на интервале \( (-\frac{4}{3}, \infty) \) график функции выпуклый вниз.
Итог:
- График функции \( y = -x^3 - 4x^2 + 5 \) выпуклый вверх на интервале \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \).
- График функции выпуклый вниз на интервале \( (-\frac{4}{3}, \infty) \).
Таким образом, мы определили характер выпуклости графика функции с помощью первой и второй производной.
