Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и формулой для медианы.
Дано:
- ( AB = BC = 15 )
- ( BM = 3\sqrt{21} )
Медиана ( BM ) — это отрезок, который соединяет вершину ( B ) с серединой стороны ( AC ) (обозначим её как ( M )). Поскольку ( AB = BC ), треугольник ( ABC ) равнобедренный.
Шаг 1: Найдите длину стороны ( AC )
Обозначим длину стороны ( AC ) как ( a ). Мы можем воспользоваться формулой для медианы:
[
BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}
]
Подставим известные значения:
[
(3\sqrt{21})^2 = \frac{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 15^2 - a^2}{4}
]
Сначала вычислим ( (3\sqrt{21})^2 ):
[
9 \cdot 21 = 189
]
Теперь подставим это в формулу:
[
189 = \frac{2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 - a^2}{4}
]
Умножим обе стороны уравнения на 4:
[
756 = 2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 - a^2
]
Посчитаем ( 2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 ):
[
756 = 900 - a^2
]
Теперь выразим ( a^2 ):
[
a^2 = 900 - 756 = 144
]
Следовательно,
[
a = \sqrt{144} = 12
]
Шаг 2: Найдите ( \cos \angle BAC )
Теперь мы знаем, что стороны треугольника ( ABC ) равны ( AB = 15 ), ( AC = 12 ), и ( BC = 15 ).
Используем косинусное правило для нахождения ( \cos \angle BAC ):
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
]
Где:
- ( a = AC = 12 )
- ( b = AB = 15 )
- ( c = BC = 15 )
Подставим значения:
[
15^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos A
]
Решим это уравнение:
[
225 = 144 + 225 - 360 \cdot \cos A
]
Сократим ( 225 ) с обеих сторон:
[
0 = 144 - 360 \cdot \cos A
]
Теперь выразим ( \cos A ):
[
360 \cdot \cos A = 144
]
[
\cos A = \frac{144}{360} = \frac{2}{5}
]
Ответ
[
\cos \angle BAC = \frac{2}{5}
]
Таким образом, мы нашли значение ( \cos BAC ).
