Дан треугольник ABC . Найди cosBAC , если известно, что AB=BC=15 , медиана BM=3√21 .

Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольников и формулой для медианы.

Дано:

• \( AB = BC = 15 \)
• \( BM = 3\sqrt{21} \)

Медиана \( BM \) — это отрезок, который соединяет вершину \( B \) с серединой стороны \( AC \) (обозначим её как \( M \)). Поскольку \( AB = BC \), треугольник \( ABC \) равнобедренный.

Шаг 1: Найдите длину стороны \( AC \)

Обозначим длину стороны \( AC \) как \( a \). Мы можем воспользоваться формулой для медианы:

\[ BM^2 = \frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \]

Подставим известные значения:

\[ (3\sqrt{21})^2 = \frac{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 15^2 - a^2}{4} \]

Сначала вычислим \( (3\sqrt{21})^2 \):

\[ 9 \cdot 21 = 189 \]

Теперь подставим это в формулу:

\[ 189 = \frac{2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 - a^2}{4} \]

Умножим обе стороны уравнения на 4:

\[ 756 = 2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 - a^2 \]

Посчитаем \( 2 \cdot 225 + 2 \cdot 225 \):

\[ 756 = 900 - a^2 \]

Теперь выразим \( a^2 \):

\[ a^2 = 900 - 756 = 144 \]

Следовательно,

\[ a = \sqrt{144} = 12 \]

Шаг 2: Найдите \( \cos \angle BAC \)

Теперь мы знаем, что стороны треугольника \( ABC \) равны \( AB = 15 \), \( AC = 12 \), и \( BC = 15 \).

Используем косинусное правило для нахождения \( \cos \angle BAC \):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \]

Где:

• \( a = AC = 12 \)
• \( b = AB = 15 \)
• \( c = BC = 15 \)

Подставим значения:

\[ 15^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos A \]

Решим это уравнение:

\[ 225 = 144 + 225 - 360 \cdot \cos A \]

Сократим \( 225 \) с обеих сторон:

\[ 0 = 144 - 360 \cdot \cos A \]

Теперь выразим \( \cos A \):

\[ 360 \cdot \cos A = 144 \]

\[ \cos A = \frac{144}{360} = \frac{2}{5} \]

Ответ

\[ \cos \angle BAC = \frac{2}{5} \]

Таким образом, мы нашли значение \( \cos BAC \).