Боковая сторона равнобокой трапеции образует с меньшим её основанием угол в 150°. Вычислите площадь трапеции, если её основания равны 12 см и 30 см
Чтобы найти площадь равнобокой трапеции, нужно сначала вспомнить, как она устроена и какие формулы для её площади существуют. Площадь трапеции можно вычислить с помощью следующей формулы:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где:
- \( S \) — площадь трапеции,
- \( a \) и \( b \) — длины оснований (в данном случае 12 см и 30 см),
- \( h \) — высота трапеции.
Шаг 1: Найдем высоту трапеции
У нас есть равнобокая трапеция, где боковая сторона образует угол в 150° с меньшим основанием. Это важно для определения высоты.
Изобразим трапецию, где:
- \( a = 12 \) см — меньшее основание,
- \( b = 30 \) см — большее основание,
- боковые стороны равны.
Обозначим боковую сторону \( c \). Поскольку трапеция равнобокая, боковые стороны равны.
Для нахождения высоты (\( h \)) воспользуемся тригонометрией. Мы знаем, что угол между боковой стороной и меньшим основанием равен 150°, что означает, что угол между боковой стороной и перпендикуляром к основанию равен \( 30° \) (потому что \( 180° - 150° = 30° \)).
Теперь, используя тригонометрию, можем выразить высоту через боковую сторону \( c \):
\[ h = c \cdot \sin(30°) \] Зная, что \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \), получаем:
\[ h = c \cdot \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Найдем длину боковой стороны (c)
Чтобы выразить боковую сторону \( c \), применим ещё раз свойства трапеции и большее основание:
- Разделим трапецию на два прямоугольных треугольника, проведя высоту от верхнего основания к нижнему.
- Обозначим одну из высот прямой линии от конца малой базы до конца большой (в сторону меньшего основания). Это создаст два прямоугольных треугольника, где подсчитаны будут половины разности оснований.
В результате, у нас получается:
\[ x = \frac{b - a}{2} = \frac{30 - 12}{2} = 9 \text{ см} \]
Теперь рассматриваем треугольник, образованный высотой \( h \), боковой стороной \( c \), и половиной разности оснований \( x = 9 \) см.
Используем теорему Пифагора:
\[ c^2 = h^2 + x^2 \]
Подставим высоту \( h = c \cdot \frac{1}{2} \):
\[ c^2 = \left(c \cdot \frac{1}{2}\right)^2 + 9^2 \] \[ c^2 = \frac{c^2}{4} + 81 \]
Умножим всё уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4c^2 = c^2 + 324 \] \[ 3c^2 = 324 \] \[ c^2 = 108 \] \[ c = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]
Шаг 3: Найти высоту h
Теперь, подставим найденное значение \( c \) для нахождения высоты \( h \):
\[ h = c \cdot \frac{1}{2} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} \]
Шаг 4: Найти площадь трапеции
Теперь можно подставить значения в формулу площади:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] \[ S = \frac{(12 + 30) \cdot (3\sqrt{3})}{2} \] \[ S = \frac{42 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = 21 \cdot 3\sqrt{3} = 63\sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Итог
Таким образом, площадь равнобокой трапеции составляет \( 63\sqrt{3} \) см² или приблизительно 109.49 см².
