Определи площадь треугольника АРТ, если АТ = 29 см, угол A = 30°, угол P = 65°. (Все приближённые числа в расчётах округли до десятитысячных, ответ округли до сотых.)

Чтобы найти площадь треугольника АРТ, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника, используя две стороны и угол между ними. В данном случае у нас есть одна сторона (АТ) и два угла (угол A и угол P). 1. **Найдём угол T.** Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, мы можем вычислить угол T: \[ \angle T = 180° - \angle A - \angle P \] Подставим известные значения: \[ \angle T = 180° - 30° - 65° = 85° \] 2. **Используем закон синусов, чтобы найти сторону RT.** Закон синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон треугольника: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] Где \( a \), \( b \), и \( c \) — стороны треугольника, а \( A \), \( B \), и \( C \) — соответствующие углы. В данном случае воспользуемся следующими величинами: - АТ = 29 см (сторона напротив угла T), - угол A = 30°, - угол T = 85°. Значит: \[ \frac{АТ}{\sin T} = \frac{RT}{\sin A} \] Подставим известные значения: \[ \frac{29}{\sin 85°} = \frac{RT}{\sin 30°} \] Теперь вычислим синусы: - \(\sin 85° \approx 0.9962\) - \(\sin 30° = 0.5\) Подставим их в уравнение: \[ \frac{29}{0.9962} = \frac{RT}{0.5} \] Решим уравнение для RT: \[ RT = \frac{29 \times 0.5}{0.9962} \approx \frac{14.5}{0.9962} \approx 14.5585 \text{ см} \] 3. **Теперь найдём сторону PT.** Опять воспользуемся законом синусов: \[ \frac{АТ}{\sin T} = \frac{PT}{\sin P} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{29}{\sin 85°} = \frac{PT}{\sin 65°} \] Где \(\sin 65° \approx 0.9063\). Решим это уравнение: \[ PT = \frac{29 \times \sin 65°}{\sin 85°} = \frac{29 \times 0.9063}{0.9962} \approx \frac{26.3087}{0.9962} \approx 26.4179 \text{ см} \] 4. **Теперь у нас есть все стороны треугольника.** Зная все три стороны, мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника. Сначала вычислим полупериметр: \[ s = \frac{АТ + RT + PT}{2} \] \[ s = \frac{29 + 14.5585 + 26.4179}{2} \approx \frac{70.9764}{2} \approx 35.4882 \] Теперь можем вычислить площадь: \[ S = \sqrt{s \times (s - АТ) \times (s - RT) \times (s - PT)} \] Подставим значения: \[ S = \sqrt{35.4882 \times (35.4882 - 29) \times (35.4882 - 14.5585) \times (35.4882 - 26.4179)} \] \[ = \sqrt{35.4882 \times 6.4882 \times 20.9297 \times 9.0703} \] Вычислим значения: \[ = \sqrt{35.4882 \times 6.4882 \times 20.9297 \times 9.0703} \approx \sqrt{48877.9923} \approx 220.44 \text{ см}^2 \] 5. **Округлим ответ до сотых:** Площадь треугольника АРТ равна: \[ \boxed{220.44} \text{ см}^2 \]