Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дециметров, а площадь 3 метров²
Для решения задачи найдем длины сторон прямоугольника, используя заданные значения периметра и площади. Давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\).
Дано:
- Периметр \(P = 74\) дм (дециметров)
- Площадь \(S = 3\) м² (метров квадратных)
Шаг 1: Привести все единицы измерения к одному типу
Сначала приведем площадь к квадратным дециметрам, поскольку периметр задан в дециметрах: \[ 1 \, \text{м}^2 = 100 \, \text{дм}^2 \] Поэтому: \[ S = 3 \, \text{м}^2 = 3 \times 100 \, \text{дм}^2 = 300 \, \text{дм}^2 \]
Шаг 2: Записать уравнения
У нас есть два уравнения:
Периметр: \[ P = 2(a + b) = 74 \] Таким образом, можем выразить сумму сторон: \[ a + b = \frac{74}{2} = 37 \quad (1) \]
Площадь: \[ S = a \cdot b = 300 \quad (2) \]
Шаг 3: Извлечь одну переменную
Из уравнения (1) выражаем одну из сторон, например \(b\): \[ b = 37 - a \quad (3) \]
Шаг 4: Подставить в уравнение площади
Теперь подставим (3) в (2): \[ a(37 - a) = 300 \] Раскроем скобки: \[ 37a - a^2 = 300 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ a^2 - 37a + 300 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь:
- \(a = 1\)
- \(b = -37\)
- \(c = 300\)
Подставим значения: \[ D = b^2 - 4ac = (-37)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 \] \[ D = 1369 - 1200 = 169 \]
Теперь найдем корни: \[ a = \frac{37 \pm \sqrt{169}}{2} \] \[ a = \frac{37 \pm 13}{2} \]
Шаг 6: Найти два возможных значения для стороны \(a\)
- \(a = \frac{37 + 13}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
- \(a = \frac{37 - 13}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
Теперь подставим полученные значения \(a\) обратно в (3) для нахождения \(b\):
Если \(a = 25\): \[ b = 37 - 25 = 12 \]
Если \(a = 12\): \[ b = 37 - 12 = 25 \]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, стороны прямоугольника равны \(12\) дм и \(25\) дм.
Итог
Стороны прямоугольника: \(a = 12\) дм, \(b = 25\) дм или наоборот (порядок не имеет значения).
