10. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность промаха при каждом отдельном выстреле независимо от других равна 0,2. Найдите вероятность того, что стрелок…

Давайте разберемся с задачей, которую вы привели. Нам нужно найти вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов, если вероятность промаха составляет 0,2 (или 20%).

Пошаговое решение

1. Определим вероятности:

   • Вероятность промаха: \( P(\text{промах}) = 0,2 \)
   • Вероятность попадания: \( P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{промах}) = 1 - 0,2 = 0,8 \)

2. Что значит "не менее трех выстрелов"?

   • Это означает, что стрелок должен сделать два промаха (в первых двух попытках) и затем попасть в третьем выстреле или продолжать промахиваться.

3. Определим ситуации:

   • Для того чтобы стрелок произвел не менее трех выстрелов, в первых двух выстрелах должны быть промахи. То есть:
     • 1-й выстрел – промах
     • 2-й выстрел – промах
     • 3-й выстрел – попадание (можно сделать, чтобы конкретизировать или учитывать другие ситуации, но минимум - три выстрела)

4. Выразим вероятность ситуации, где стрелок произведет ровно три выстрела: \[ P(\text{2 промаха за 2 выстрела и попадание на 3}) = P(\text{промах}) \times P(\text{промах}) \times P(\text{попадание}) = 0,2 \times 0,2 \times 0,8 = 0,032 \]

5. Теперь учтем вероятность, что стрелок сделает больше трех выстрелов:

   • Стрелок может продолжать промахиваться, и каждый раз, когда он не попадает, он продолжает делать выстрелы, умножая вероятность на \( P(\text{промах}) \).

6. Формула полной вероятности:

   • Вместо того чтобы вычислять для каждого случая, заметим, что "не менее трех выстрелов" включает все возможные промахи, которые случаются, пока не случается первое попадание. Это соответствует геометрическому распределению: \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) \]

   • Чтобы вычислить \( P(X < 3) \) (то есть вероятность, что стрелок сделает 1 или 2 выстрела): \[ P(X = 1) = P(\text{попадание}) = 0,8 \] \[ P(X = 2) = P(\text{промах}) \times P(\text{попадание}) = 0,2 \times 0,8 = 0,16 \] \[ P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8 + 0,16 = 0,96 \]

7. Следовательно, вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов: \[ P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - 0,96 = 0,04 \]

Ответ

Вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов, составляет 0,04 или 4%.