10. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность промаха при каждом отдельном выстреле независимо от других равна 0,2. Найдите вероятность того, что стрелок произведёт не менее трёх выстрелов.
Давайте разберемся с задачей, которую вы привели. Нам нужно найти вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов, если вероятность промаха составляет 0,2 (или 20%).
### Пошаговое решение
1. **Определим вероятности:**
- Вероятность промаха: \( P(\text{промах}) = 0,2 \)
- Вероятность попадания: \( P(\text{попадание}) = 1 - P(\text{промах}) = 1 - 0,2 = 0,8 \)
2. **Что значит "не менее трех выстрелов"?**
- Это означает, что стрелок должен сделать два промаха (в первых двух попытках) и затем попасть в третьем выстреле или продолжать промахиваться.
3. **Определим ситуации:**
- Для того чтобы стрелок произвел не менее трех выстрелов, в первых двух выстрелах должны быть промахи. То есть:
- 1-й выстрел – промах
- 2-й выстрел – промах
- 3-й выстрел – попадание (можно сделать, чтобы конкретизировать или учитывать другие ситуации, но минимум - три выстрела)
4. **Выразим вероятность ситуации, где стрелок произведет ровно три выстрела:**
\[
P(\text{2 промаха за 2 выстрела и попадание на 3}) = P(\text{промах}) \times P(\text{промах}) \times P(\text{попадание}) = 0,2 \times 0,2 \times 0,8 = 0,032
\]
5. **Теперь учтем вероятность, что стрелок сделает больше трех выстрелов:**
- Стрелок может продолжать промахиваться, и каждый раз, когда он не попадает, он продолжает делать выстрелы, умножая вероятность на \( P(\text{промах}) \).
6. **Формула полной вероятности:**
- Вместо того чтобы вычислять для каждого случая, заметим, что "не менее трех выстрелов" включает все возможные промахи, которые случаются, пока не случается первое попадание. Это соответствует геометрическому распределению:
\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)
\]
- Чтобы вычислить \( P(X < 3) \) (то есть вероятность, что стрелок сделает 1 или 2 выстрела):
\[
P(X = 1) = P(\text{попадание}) = 0,8
\]
\[
P(X = 2) = P(\text{промах}) \times P(\text{попадание}) = 0,2 \times 0,8 = 0,16
\]
\[
P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8 + 0,16 = 0,96
\]
7. **Следовательно, вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов:**
\[
P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - 0,96 = 0,04
\]
### Ответ
Вероятность того, что стрелок произведет не менее трех выстрелов, составляет **0,04** или **4%**.
