Для решения этой задачи нам необходимо использовать уравнение состояния идеального газа и основы физики, связанные с подъёмной силой.
1. Уравнение состояния идеального газа
Уравнение состояния для идеального газа выглядит следующим образом:
[ PV = nRT ]
где:
- ( P ) — давление,
- ( V ) — объём,
- ( n ) — количество молей газа,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (( 8.31 , \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} )),
- ( T ) — температура в Кельвинах.
2. Определение изменения количества вещества
При изменении температуры количество молей ( n ) можно выразить через массу и молярную массу:
[ n = \frac{m}{M} ]
Из уравнения состояния идеального газа:
[ PV = \frac{m}{M}RT ]
Отсюда выражаем массу:
[ m = \frac{PVM}{RT} ]
Гелий нагревается на 20 К, значит, новая температура:
[ T_2 = T_1 + 20 ]
Поскольку температура меняется, изменяется количество молей газа, которым будет определяться подъёмная сила.
Подъёмная сила определяется разницей между весом вытесняемого воздуха и весом газа:
[ F = (\rho_{\text{воздуха}} - \rho_{\text{газа}})gV ]
где:
- ( \rho_{\text{воздуха}} ) и ( \rho_{\text{газа}} ) — плотности воздуха и газа соответственно,
- ( g ) — ускорение свободного падения (( 9.81 , \text{м/с}^2 )).
3. Изменение плотности газа
Плотность газа (\rho_{\text{газа}}) изменяется с температурой:
[\rho_{\text{газа}} = \frac{m}{V} = \frac{P}{RT} ]
Рассчитаем изменение плотности газа при изменении температуры от (T_1) до (T_2):
[\Delta \rho_{\text{газа}} = \left(\frac{P}{R T_2} - \frac{P}{R T_1}\right) = \frac{P (T_1 - T_2)}{R T_1 T_2} ]
4. Изменение подъёмной силы
Подъёмная сила при нагреве гелия увеличится на величину, пропорциональную изменению плотности:
[\Delta F = (\Delta \rho_{\text{газа}})gV ]
Применение численных значений
В качестве примера, пусть:
- ( V = 800 , \text{м}^3 ),
- ( T_1 = 273 , \text{К} ) (нормальные условия),
- ( T_2 = 273 + 20 = 293 , \text{К} ).
Рассчитаем изменение плотности и подъёмной силы:
[\Delta \rho_{\text{газа}} = \frac{101325 , \text{Па} \times 20}{8.31 , \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)} \times 273 , \text{К} \times 293 , \text{К}} \approx 0.0087 , \text{кг/м}^3]
Таким образом, изменение подъёмной силы будет:
[\Delta F = 0.0087 , \text{кг/м}^3 \times 9.81 , \text{м/с}^2 \times 800 , \text{м}^3 \approx 68.3 , \text{Н}]
Ответ: Подъёмная сила шара возрастёт на примерно (68.3) Н.
