Log_2(x ^ 2 - 3x - 10) = 3 ;

Чтобы решить уравнение \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \), давайте разберем его шаг за шагом, чтобы понять все действия, которые мы выполняем. ### Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное У нас есть логарифм. Уравнение \( \log_2(a) = b \) эквивалентно \( a = 2^b \). В нашем случае: \[ x^2 - 3x - 10 = 2^3 \] Поскольку \( 2^3 = 8 \), мы можем переписать уравнение как: \[ x^2 - 3x - 10 = 8 \] ### Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду Теперь перенесем 8 в левую часть уравнения: \[ x^2 - 3x - 10 - 8 = 0 \] Получаем: \[ x^2 - 3x - 18 = 0 \] ### Шаг 3: Решение квадратного уравнения Теперь мы имеем квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант для нахождения корней. Дискриминант рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] В нашем уравнении \( a = 1, b = -3, c = -18 \): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \] ### Шаг 4: Находим корни уравнения Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем наши значения: \[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2} \] Теперь находим два корня: 1. \( x_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) 2. \( x_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) ### Шаг 5: Проверка корней Так как мы работаем с логарифмом, нужно проверить, что подлогарифмическое выражение \( x^2 - 3x - 10 \) положительно для найденных корней: 1. **Для \( x = 6 \)**: \[ 6^2 - 3 \cdot 6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 \quad (\text{положительно}) \] 2. **Для \( x = -3 \)**: \[ (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 \quad (\text{положительно}) \] В обоих случаях подлогарифмическое выражение положительно. ### Шаг 6: Запись окончательного ответа Таким образом, решения уравнения \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) следующие: \[ \boxed{6 \text{ и } -3} \] Теперь вы понимаете, как решить это логарифмическое уравнение шаг за шагом! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.