log_2(x ^ 2 - 3x - 10) = 3 ;
Чтобы решить уравнение \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \), давайте разберем его шаг за шагом, чтобы понять все действия, которые мы выполняем.
Шаг 1: Преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное
У нас есть логарифм. Уравнение \( \log_2(a) = b \) эквивалентно \( a = 2^b \). В нашем случае:
\[ x^2 - 3x - 10 = 2^3 \]
Поскольку \( 2^3 = 8 \), мы можем переписать уравнение как:
\[ x^2 - 3x - 10 = 8 \]
Шаг 2: Приведение уравнения к стандартному виду
Теперь перенесем 8 в левую часть уравнения:
\[ x^2 - 3x - 10 - 8 = 0 \]
Получаем:
\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение. Можно использовать дискриминант для нахождения корней. Дискриминант рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем уравнении \( a = 1, b = -3, c = -18 \):
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]
Шаг 4: Находим корни уравнения
Корни квадратного уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем наши значения:
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2} \]
Теперь находим два корня:
- \( x_1 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( x_2 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Шаг 5: Проверка корней
Так как мы работаем с логарифмом, нужно проверить, что подлогарифмическое выражение \( x^2 - 3x - 10 \) положительно для найденных корней:
Для \( x = 6 \): \[ 6^2 - 3 \cdot 6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
Для \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 3 \cdot (-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 \quad (\text{положительно}) \]
В обоих случаях подлогарифмическое выражение положительно.
Шаг 6: Запись окончательного ответа
Таким образом, решения уравнения \( \log_2(x^2 - 3x - 10) = 3 \) следующие:
\[ \boxed{6 \text{ и } -3} \]
Теперь вы понимаете, как решить это логарифмическое уравнение шаг за шагом! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.
