Докажите тождество a(b-a)(c+a)+a(a-b)(a+c)=0

Давайте докажем тождество \( a(b-a)(c+a) + a(a-b)(a+c) = 0 \). ### Шаг 1: Раскроем скобки Начнем с раскрытия скобок. 1. Рассмотрим первый член: \[ a(b-a)(c+a) = a(bc + ba - ac - a^2) = abc + aba - a^2c - a^3 \] 2. Теперь второй член: \[ a(a-b)(a+c) = a(a^2 + ac - ab - bc) = a^3 + a^2c - a^2b - abc \] ### Шаг 2: Сложим все полученные выражения Теперь сложим оба выражения вместе: \[ abc + aba - a^2c - a^3 + a^3 + a^2c - a^2b - abc \] ### Шаг 3: Упростим выражение Сложим и упростим: - \( abc \) и \( -abc \) сокращаются. - \( a^3 \) и \( -a^3 \) также сокращаются. - Остаются \( aba - a^2b \) и \( -a^2c + a^2c \) (они тоже сокращаются). Итак, у нас остается: \[ aba - a^2b = ab(a - a) = 0 \] ### Заключение Таким образом, мы получили следующее: \[ a(b-a)(c+a) + a(a-b)(a+c) = 0 \] Тождество доказано, поскольку мы пришли к равенству нулю.