У=1/4 х^4-3х^2

Давайте решим задачу, связанную с функцией \( u = \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 \). Мы можем начать с анализа этой функции, например, найдем её производную и критические точки, а затем рассмотрим её поведение. ### Шаг 1: Найдем производную функции Для начала найдем производную функции \( u \) по переменной \( x \). Функция \( u \) выглядит так: \[ u = \frac{1}{4}x^4 - 3x^2 \] Используя правило дифференцирования (право производной многочлена), мы можем найти производную: \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) - \frac{d}{dx}(3x^2) \] Применяя правило: - \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \) Таким образом, получаем: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x = x^3 - 6x \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки функции находятся там, где её производная равна нулю: \[ x^3 - 6x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x^2 - 6) = 0 \] Это уравнение будет равно нулю, если: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^2 - 6 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 = 6 \) \( \Rightarrow x = \sqrt{6} \) и \( x = -\sqrt{6} \) Критические точки: \( x = 0, \sqrt{6}, -\sqrt{6} \) ### Шаг 3: Определим тип критических точек Теперь мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами или максимумами. Сначала найдем вторую производную: \[ \frac{d^2u}{dx^2} = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x) = 3x^2 - 6 \] Теперь подставим каждую из критических точек: 1. Для \( x = 0 \): \[ \frac{d^2u}{dx^2}\bigg|_{x=0} = 3(0)^2 - 6 = -6 \quad (\text{Максимум, т.к. } < 0) \] 2. Для \( x = \sqrt{6} \): \[ \frac{d^2u}{dx^2}\bigg|_{x=\sqrt{6}} = 3(\sqrt{6})^2 - 6 = 3 \cdot 6 - 6 = 12 \quad (\text{Минимум, т.к. } > 0) \] 3. Для \( x = -\sqrt{6} \): \[ \frac{d^2u}{dx^2}\bigg|_{x=-\sqrt{6}} = 3(-\sqrt{6})^2 - 6 = 3 \cdot 6 - 6 = 12 \quad (\text{Минимум, т.к. } > 0) \] ### Итоги Теперь мы знаем, что: - \( x = 0 \) – это точка максимума. - \( x = \sqrt{6} \) и \( x = -\sqrt{6} \) – это точки минимума. Таким образом, мы проанализировали функцию и определили её критические точки. Если вам нужна дополнительная информация, например, график функции или значения в этих точках, дайте знать!