Замените букву x одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: (2a-x)²=4a²-20ab+25b²
Давайте решим задачу, в которой нужно заменить букву \( x \) одночленом так, чтобы данное равенство стало тождеством. Имеем:
\[ (2a - x)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 \]
Шаг 1: Раскройте квадрат слевой стороны
Сначала раскроем левую часть уравнения:
\[ (2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot x + x^2 \] \[ = 4a^2 - 4ax + x^2 \]
Шаг 2: Приравняйте обе стороны
Теперь у нас есть:
\[ 4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2 \]
Шаг 3: Сравните обе стороны
Теперь упростим равенство, убрав одинаковые члены с обеих сторон (обратите внимание, что \( 4a^2 \) на обеих сторонах уходит):
\[ -4ax + x^2 = -20ab + 25b^2 \]
Шаг 4: Приведите все члены в одно уравнение
Переносим все на одну сторону, чтобы получить уравнение:
\[ x^2 - 4ax + 20ab - 25b^2 = 0 \]
Шаг 5: Найдите корни уравнения
Теперь это квадратное уравнение относительно \( x \). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -4a \), \( c = 20ab - 25b^2 \).
Подставим значения:
\[ x = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{(-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (20ab - 25b^2)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 80ab + 100b^2}}{2} \] \[ = \frac{4a \pm \sqrt{(4a - 10b)^2}}{2} \]
Шаг 6: Упростите
Так как \( \sqrt{(4a - 10b)^2} = |4a - 10b| \), получаем:
\[ x = \frac{4a \pm |4a - 10b|}{2} \]
Теперь можем найти два случая для \( x \):
- \( x = \frac{4a + (4a - 10b)}{2} = \frac{8a - 10b}{2} = 4a - 5b \)
- \( x = \frac{4a - (4a - 10b)}{2} = \frac{10b}{2} = 5b \)
Итог
Мы нашли два возможных значения для \( x \):
\[ x = 4a - 5b \quad \text{или} \quad x = 5b \]
Таким образом, вы можете заменить букву \( x \) на одно из этих значений, чтобы равенство стало тождеством!
