Давайте решим задачу, в которой нужно заменить букву ( x ) одночленом так, чтобы данное равенство стало тождеством. Имеем:
[
(2a - x)^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2
]
Шаг 1: Раскройте квадрат слевой стороны
Сначала раскроем левую часть уравнения:
[
(2a - x)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot x + x^2
]
[
= 4a^2 - 4ax + x^2
]
Шаг 2: Приравняйте обе стороны
Теперь у нас есть:
[
4a^2 - 4ax + x^2 = 4a^2 - 20ab + 25b^2
]
Шаг 3: Сравните обе стороны
Теперь упростим равенство, убрав одинаковые члены с обеих сторон (обратите внимание, что ( 4a^2 ) на обеих сторонах уходит):
[
-4ax + x^2 = -20ab + 25b^2
]
Шаг 4: Приведите все члены в одно уравнение
Переносим все на одну сторону, чтобы получить уравнение:
[
x^2 - 4ax + 20ab - 25b^2 = 0
]
Шаг 5: Найдите корни уравнения
Теперь это квадратное уравнение относительно ( x ). Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -4a ), ( c = 20ab - 25b^2 ).
Подставим значения:
[
x = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{(-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (20ab - 25b^2)}}{2 \cdot 1}
]
[
= \frac{4a \pm \sqrt{16a^2 - 80ab + 100b^2}}{2}
]
[
= \frac{4a \pm \sqrt{(4a - 10b)^2}}{2}
]
Шаг 6: Упростите
Так как ( \sqrt{(4a - 10b)^2} = |4a - 10b| ), получаем:
[
x = \frac{4a \pm |4a - 10b|}{2}
]
Теперь можем найти два случая для ( x ):
- ( x = \frac{4a + (4a - 10b)}{2} = \frac{8a - 10b}{2} = 4a - 5b )
- ( x = \frac{4a - (4a - 10b)}{2} = \frac{10b}{2} = 5b )
Итог
Мы нашли два возможных значения для ( x ):
[
x = 4a - 5b \quad \text{или} \quad x = 5b
]
Таким образом, вы можете заменить букву ( x ) на одно из этих значений, чтобы равенство стало тождеством!
