log2(x-2)+log2 x=3

Решим уравнение \( \log_2(x - 2) + \log_2 x = 3 \).

Шаг 1: Используем свойства логарифмов

Согласно свойству логарифмов, сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c) \] В нашем случае: \[ \log_2(x - 2) + \log_2 x = \log_2((x - 2) \cdot x) \]

Таким образом, уравнение можно переписать как: \[ \log_2((x - 2) \cdot x) = 3 \]

Шаг 2: Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное

Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное: \[ (x - 2) \cdot x = 2^3 \] Так как \( 2^3 = 8 \), мы имеем: \[ (x - 2) \cdot x = 8 \]

Шаг 3: Раскроем скобки

Раскроем скобки: \[ x^2 - 2x = 8 \]

Шаг 4: Переносим все в одну сторону уравнения

Переносим 8 в левую часть уравнения: \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -8 \).

Находим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Шаг 6: Находим корни

Теперь находим два значения:

1. \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Шаг 7: Проверка значений в логарифме

Проверим, подходят ли эти значения для исходного логарифмического уравнения.

1. Для \( x = 4 \): \[ \log_2(4 - 2) + \log_2 4 = \log_2(2) + \log_2(4) = 1 + 2 = 3 \quad (\text{верно}) \]

2. Для \( x = -2 \): \[ \log_2(-2 - 2) \quad (\text{некорректно, так как логарифм отрицательного числа не существует}) \]

Итог

Таким образом, единственное решение уравнения: \[ \boxed{4} \]