диагональ прямоугольника на 8 см больше одной из его сторон и на 4 см больше другой. найдите стороны прямоугольника

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). По условию задачи, диагональ \(d\) прямоугольника можно выразить через стороны:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Также по условиям задачи имеем:

\[ d = a + 8 \] \[ d = b + 4 \]

Таким образом, приравняем оба выражения для \(d\):

\[ a + 8 = b + 4 \]

Перепишем это уравнение:

\[ a - b = -4 \quad \text{(1)} \]

Теперь подставим выражение для \(d\) в формулу находим уравнение, используя одну из приравненных формул для \(d\):

\[ \sqrt{a^2 + b^2} = a + 8 \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ a^2 + b^2 = (a + 8)^2 \]

Раскроем правую часть:

\[ a^2 + b^2 = a^2 + 16a + 64 \]

Упростим уравнение:

\[ b^2 = 16a + 64 \quad \text{(2)} \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Подставим \(b\) из (1) в (2). Из (1) выразим \(b\):

\[ b = a + 4 \]

Подставим это значение в (2):

\[ (a + 4)^2 = 16a + 64 \]

Раскроем левую часть:

\[ a^2 + 8a + 16 = 16a + 64 \]

Соберем все в одну сторону:

\[ a^2 - 8a - 48 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 \]

Находим корни уравнения:

\[ a = \frac{-(-8) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 16}{2} \]

Первый корень:

\[ a_1 = \frac{24}{2} = 12 \]

Второй корень:

\[ a_2 = \frac{-8}{2} = -4 \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, принимаем только \(a = 12\).

Теперь найдем \(b\):

\[ b = a + 4 = 12 + 4 = 16 \]

Таким образом, стороны прямоугольника равны:

\[ a = 12 \, \text{см}, \quad b = 16 \, \text{см}. \]

Ответ: стороны прямоугольника 12 см и 16 см.