Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b). По условию задачи, диагональ (d) прямоугольника можно выразить через стороны:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
Также по условиям задачи имеем:
[
d = a + 8
]
[
d = b + 4
]
Таким образом, приравняем оба выражения для (d):
[
a + 8 = b + 4
]
Перепишем это уравнение:
[
a - b = -4 \quad \text{(1)}
]
Теперь подставим выражение для (d) в формулу находим уравнение, используя одну из приравненных формул для (d):
[
\sqrt{a^2 + b^2} = a + 8
]
Возведем обе стороны в квадрат:
[
a^2 + b^2 = (a + 8)^2
]
Раскроем правую часть:
[
a^2 + b^2 = a^2 + 16a + 64
]
Упростим уравнение:
[
b^2 = 16a + 64 \quad \text{(2)}
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2). Подставим (b) из (1) в (2). Из (1) выразим (b):
[
b = a + 4
]
Подставим это значение в (2):
[
(a + 4)^2 = 16a + 64
]
Раскроем левую часть:
[
a^2 + 8a + 16 = 16a + 64
]
Соберем все в одну сторону:
[
a^2 - 8a - 48 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256
]
Находим корни уравнения:
[
a = \frac{-(-8) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 16}{2}
]
Первый корень:
[
a_1 = \frac{24}{2} = 12
]
Второй корень:
[
a_2 = \frac{-8}{2} = -4
]
Так как длина стороны не может быть отрицательной, принимаем только (a = 12).
Теперь найдем (b):
[
b = a + 4 = 12 + 4 = 16
]
Таким образом, стороны прямоугольника равны:
[
a = 12 , \text{см}, \quad b = 16 , \text{см}.
]
Ответ: стороны прямоугольника 12 см и 16 см.
