Для решения задачи мы будем использовать закон полной вероятности. Давайте разберем шаги по решению.
Шаг 1: Определим известные данные
- Вероятность того, что лампа выпущена первым заводом ( P(A_1) = 0.4 ).
- Вероятность того, что лампа выпущена вторым заводом ( P(A_2) = 0.6 ).
- Вероятность того, что лампа из первого завода бракованная ( P(B|A_1) = 0.02 ) (это значит, что 2% ламп бракованы, следовательно, 98% исправные).
- Вероятность того, что лампа из второго завода бракованная ( P(B|A_2) = 0.03 ) (3% бракованные, следовательно, 97% исправные).
Шаг 2: Найдем вероятность того, что лампа исправная
Чтобы найти вероятность того, что лампа исправная, мы можем использовать формулу:
[
P(\text{исправная}) = P(\text{исправная}|A_1) \cdot P(A_1) + P(\text{исправная}|A_2) \cdot P(A_2)
]
Где:
- ( P(\text{исправная}|A_1) = 1 - P(B|A_1) = 1 - 0.02 = 0.98 )
- ( P(\text{исправная}|A_2) = 1 - P(B|A_2) = 1 - 0.03 = 0.97 )
Теперь подставим это в формулу:
[
P(\text{исправная}) = 0.98 \cdot 0.4 + 0.97 \cdot 0.6
]
Шаг 3: Вычислим
Теперь давайте найдем значения:
Для первого завода:
[
0.98 \cdot 0.4 = 0.392
]
Для второго завода:
[
0.97 \cdot 0.6 = 0.582
]
Теперь сложим эти два значения:
[
P(\text{исправная}) = 0.392 + 0.582 = 0.974
]
Шаг 4: Итог
Вероятность того, что случайно купленная в магазине лампа окажется исправной, равна:
[
\boxed{0.974}
]
Это означает, что существует 97.4% вероятность того, что покупаемая лампа будет исправной.
