22.16. Erep tga = 3 болса, онда 4 cosa- 3 sina/ 3 sin³ a + cos³ a өрнегінің мәнін табыңдар

Давайте решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как работать с тригонометрическими функциями и упростить выражение.

Дано: \( \tan a = 3 \).

Шаг 1: Находим синус и косинус угла \( a \)

Используя определение тангенса: \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = 3 \] Это означает, что \( \sin a = 3 \cos a \).

Теперь мы можем написать, используя основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

Подставим \( \sin a = 3 \cos a \): \[ (3 \cos a)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ 9 \cos^2 a + \cos^2 a = 1 \] \[ 10 \cos^2 a = 1 \] \[ \cos^2 a = \frac{1}{10} \]

Теперь найдем \( \cos a \) и \( \sin a \): \[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}}, \quad \sin a = 3 \cos a = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}. \]

Шаг 2: Подставляем в выражение

Теперь подставим полученные значения \( \sin a \) и \( \cos a \) в заданное выражение: \[ 4 \cos a - \frac{3 \sin a}{3 \sin^3 a + \cos^3 a}. \] Подставляем значения: \[ 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}}{3 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)^3 + \left( \frac{1}{\sqrt{10}} \right)^3}. \]

Шаг 3: Упрощаем выражение

Сначала упростим верхнюю часть: \[ 4 \cos a = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}. \]

Теперь упростим нижнюю часть, начнем с \( 3 \sin^3 a + \cos^3 a \): \[ 3 \left( \frac{3}{\sqrt{10}} \right)^3 + \left( \frac{1}{\sqrt{10}} \right)^3 = 3 \cdot \frac{27}{10\sqrt{10}} + \frac{1}{10\sqrt{10}} = \frac{81 + 1}{10\sqrt{10}} = \frac{82}{10\sqrt{10}} = \frac{41}{5\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим это обратно в выражение: \[ - \frac{3 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{41}{5\sqrt{10}}} = - \frac{9/\sqrt{10}}{41/5\sqrt{10}} = - \frac{9 \cdot 5}{41} = - \frac{45}{41}. \]

Шаг 4: Объединяем обе части

Подставим всё обратно: \[ \frac{4}{\sqrt{10}} - \left(-\frac{45}{41}\right). \]

Шаг 5: Приводим к общему знаменателю

Общий знаменатель для \( \sqrt{10} \) и \( 41 \) можно взять как \( 41\sqrt{10} \): \[ \frac{4 \cdot 41}{41\sqrt{10}} + \frac{45 \sqrt{10}}{41\sqrt{10}} = \frac{164 + 45\sqrt{10}}{41\sqrt{10}}. \]

Таким образом, конечное выражение: \[ \frac{164 + 45\sqrt{10}}{41\sqrt{10}}. \]

Ответ

Значение выражения: \[ \frac{164 + 45\sqrt{10}}{41\sqrt{10}}. \]