Для решения задачи находим длину вектора ( \vec{AC} ) используя известные данные.
Дано:
- Длина вектора ( \vec{AB} = 3 )
- Длина вектора ( \vec{AB} + \vec{AC} = 6 )
- Косинус угла ( \angle BAC = -\frac{11}{21} )
Шаг 1: Находим длину вектора ( \vec{AC} )
Из второго условия нам известно, что длина ( \vec{AB} + \vec{AC} = 6 ). Подставим известную длину ( \vec{AB} ):
[
\vec{AB} + \vec{AC} = 6
]
Так как ( \vec{AB} = 3 ):
[
3 + \vec{AC} = 6
]
Теперь вычтем 3 из обеих сторон:
[
\vec{AC} = 6 - 3 = 3
]
Мы нашли, что длина вектора ( \vec{AC} = 3 ).
Шаг 2: Проверка существования угла ( \angle BAC )
Теперь давайте проверим, можем ли мы действительно сформировать такой треугольник ( \triangle ABC ), используя косинус угла ( \angle BAC ).
Для проверки используем теорему косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)
]
где:
- ( c ) — длина стороны, противоположной углу ( \theta ) (в нашем случае это ( \vec{BC} )),
- ( a ) и ( b ) — длины других двух сторон (это ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} )),
- ( \cos(\theta) ) — косинус угла между сторонами ( a ) и ( b ).
Подставляем известные значения:
- ( a = 3 ) (длина ( \vec{AB} ))
- ( b = 3 ) (длина ( \vec{AC} ))
- ( \cos(\theta) = -\frac{11}{21} )
Таким образом:
[
c^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{11}{21}\right)
]
[
c^2 = 9 + 9 + 2 \cdot 9 \cdot \frac{11}{21}
]
[
c^2 = 18 + \frac{198}{21}
]
[
c^2 = 18 + 9.42857 \approx 27.42857
]
[
c \approx \sqrt{27.42857} \approx 5.24
]
Итог
Таким образом, длина вектора ( \vec{AC} = 3 ). Также мы проверили существование угла, и он возможен, так как получившаяся длина для ( \vec{BC} ) положительна.
Ответ:
Длина вектора ( \vec{AC} = 3 ).
