Ответ: Длина вектора АВ равна 3, длина вектора АВ + АС равна 6. Косинус угла ВАС равен -11/21 Найдите длину вектора АС

Для решения задачи находим длину вектора \( \vec{AC} \) используя известные данные.

Дано:

• Длина вектора \( \vec{AB} = 3 \)
• Длина вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} = 6 \)
• Косинус угла \( \angle BAC = -\frac{11}{21} \)

Шаг 1: Находим длину вектора \( \vec{AC} \)

Из второго условия нам известно, что длина \( \vec{AB} + \vec{AC} = 6 \). Подставим известную длину \( \vec{AB} \):

\[ \vec{AB} + \vec{AC} = 6 \]

Так как \( \vec{AB} = 3 \):

\[ 3 + \vec{AC} = 6 \]

Теперь вычтем 3 из обеих сторон:

\[ \vec{AC} = 6 - 3 = 3 \]

Мы нашли, что длина вектора \( \vec{AC} = 3 \).

Шаг 2: Проверка существования угла \( \angle BAC \)

Теперь давайте проверим, можем ли мы действительно сформировать такой треугольник \( \triangle ABC \), используя косинус угла \( \angle BAC \).

Для проверки используем теорему косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \] где:

• \( c \) — длина стороны, противоположной углу \( \theta \) (в нашем случае это \( \vec{BC} \)),
• \( a \) и \( b \) — длины других двух сторон (это \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)),
• \( \cos(\theta) \) — косинус угла между сторонами \( a \) и \( b \).

Подставляем известные значения:

• \( a = 3 \) (длина \( \vec{AB} \))
• \( b = 3 \) (длина \( \vec{AC} \))
• \( \cos(\theta) = -\frac{11}{21} \)

Таким образом:

\[ c^2 = 3^2 + 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{11}{21}\right) \] \[ c^2 = 9 + 9 + 2 \cdot 9 \cdot \frac{11}{21} \] \[ c^2 = 18 + \frac{198}{21} \] \[ c^2 = 18 + 9.42857 \approx 27.42857 \] \[ c \approx \sqrt{27.42857} \approx 5.24 \]

Итог

Таким образом, длина вектора \( \vec{AC} = 3 \). Также мы проверили существование угла, и он возможен, так как получившаяся длина для \( \vec{BC} \) положительна.

Ответ:

Длина вектора \( \vec{AC} = 3 \).