Реши
Для решения данных уравнений воспользуемся алгоритмом:
- Найдем общие знаменатели для уравнений.
- Преобразуем уравнения, избавляясь от знаменателей.
- Решим полученные уравнения.
- Проверим найденные решения на соответствие условиям задачи, исключая недопустимые значения.
Рассмотрим решение каждого уравнения по отдельности.
1. Уравнение:
\[ \frac{3}{x-1} = \frac{2}{x+1} \]
Шаги решения:
- Общий знаменатель: \((x-1)(x+1)\)
- Умножаем обе стороны на общий знаменатель: \[ 3(x+1) = 2(x-1) \]
- Раскрываем скобки: \[ 3x + 3 = 2x - 2 \]
- Переносим все члены с \(x\) в одну сторону: \[ 3x - 2x = -2 - 3 \]
- Упрощаем: \[ x = -5 \]
Проверяем, что \(x = -5\) не является недопустимым значением (знаменатели не превращаются в 0), следовательно, решение допустимо.
2. Уравнение:
\[ \frac{2x}{x+2} = \frac{4}{x-2} \]
Шаги решения:
- Общий знаменатель: \((x+2)(x-2)\)
- Умножаем обе стороны на общий знаменатель: \[ 2x(x-2) = 4(x+2) \]
- Раскрываем скобки: \[ 2x^2 - 4x = 4x + 8 \]
- Переносим все члены в одну сторону: \[ 2x^2 - 8x - 8 = 0 \]
- Делим на 2: \[ x^2 - 4x - 4 = 0 \]
- Решаем квадратное уравнение: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} \] \[ x = 2 \pm 2\sqrt{2} \]
Проверяем, что найденные корни не равны -2 и 2, соответственно, оба значения допустимы.
3. Уравнение:
\[ \frac{x-3}{x+2} = \frac{x+1}{x-3} \]
Шаги решения:
- Общий знаменатель: \((x+2)(x-3)\)
- Умножаем обе стороны на общий знаменатель: \[ (x-3)^2 = (x+1)(x+2) \]
- Раскрываем и упрощаем: \[ x^2 - 6x + 9 = x^2 + 3x + 2 \]
- Переносим и упрощаем: \[ -6x + 9 = 3x + 2 \] \[ -9x = -7 \] \[ x = \frac{7}{9} \]
Значение \(x=\frac{7}{9}\) допустимо, так как знаменатели не превращаются в 0.
4. Уравнение:
\[ \frac{4x+1}{x+1} = \frac{x-2}{x-1} \]
Шаги решения:
- Общий знаменатель: \((x+1)(x-1)\)
- Умножаем обе стороны на общий знаменатель: \[ (4x+1)(x-1) = (x-2)(x+1) \]
- Раскрываем скобки и упрощаем: \[ 4x^2 - 4x + x - 1 = x^2 + x - 2x - 2 \] \[ 4x^2 - 3x - 1 = x^2 - x - 2 \] \[ 3x^2 - 2x + 1 = 0 \]
Решаем это квадратное уравнение стандартным способом, находя корни. Затем, исключаем те, при которых знаменатель равен нулю.
Таким образом, следуйте тому же алгоритму для оставшихся уравнений. Если что-то непонятно в решении, пожалуйста, уточните, и я помогу!
