найдите наименьшее значение у=(х-4)е^х-3 на отрезке [2;4]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = (x - 4)e^x - 3 \) на отрезке \([2; 4]\), будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Анализ функции
Прежде всего, нужно понять, какая функция перед нами. Она состоит из двух множителей: \( (x - 4) \) и \( e^x \), и затем мы вычитаем 3. Это немножко усложняет анализ, но давайте разберемся.
Шаг 2: Найдите производную
Чтобы найти точки, в которых функция достигает минимумов и максимумов, нам нужно вычислить производную функции:
\[ y = (x - 4)e^x - 3 \]
Используем правило произведения для нахождения производной:
\[ y' = (x - 4)e^x + e^x \]
Объединим слагаемые:
\[ y' = e^x ((x - 4) + 1) = e^x (x - 3) \]
Шаг 3: Найдите критические точки
Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае:
\[ e^x (x - 3) = 0 \]
Поскольку \( e^x > 0 \) для любого \( x \), то мы решаем уравнение:
\[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \]
Эта точка находится в нашем отрезке \([2; 4]\).
Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка
Теперь необходимо вычислить значение функции в критической точке и на границах отрезка.
- На границе \( x = 2 \):
\[ y(2) = (2 - 4)e^2 - 3 = (-2)e^2 - 3 = -2e^2 - 3 \]
- На границе \( x = 4 \):
\[ y(4) = (4 - 4)e^4 - 3 = 0 - 3 = -3 \]
- В критической точке \( x = 3 \):
\[ y(3) = (3 - 4)e^3 - 3 = (-1)e^3 - 3 = -e^3 - 3 \]
Шаг 5: Сравните значения
Теперь нам нужно сравнить найденные значения:
- \( y(2) = -2e^2 - 3 \)
- \( y(3) = -e^3 - 3 \)
- \( y(4) = -3 \)
Примерные значения:
- \( e \approx 2.718 \)
- \( e^2 \approx 7.389 \)
- \( e^3 \approx 20.086 \)
Таким образом:
\[ y(2) \approx -2 \cdot 7.389 - 3 \approx -14.778 \]
\[ y(3) \approx -20.086 - 3 \approx -23.086 \]
\[ y(4) = -3 \]
Шаг 6: Определение наименьшего значения
Сравниваем вычисленные значения:
- \( y(2) \approx -14.778 \)
- \( y(3) \approx -23.086 \)
- \( y(4) = -3 \)
Наименьшее значение функции на отрезке \([2; 4]\) находится в точке \( x = 3 \):
\[ \text{Наименьшее значение} \, y \approx -23.086. \]
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([2; 4]\) равно \( -e^3 - 3\).
