Найдите наименьшее значение у=(х-4)е^х-3 на отрезке [2;4]

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = (x - 4)e^x - 3 \) на отрезке \([2; 4]\), будем следовать следующим шагам: ### Шаг 1: Анализ функции Прежде всего, нужно понять, какая функция перед нами. Она состоит из двух множителей: \( (x - 4) \) и \( e^x \), и затем мы вычитаем 3. Это немножко усложняет анализ, но давайте разберемся. ### Шаг 2: Найдите производную Чтобы найти точки, в которых функция достигает минимумов и максимумов, нам нужно вычислить производную функции: \[ y = (x - 4)e^x - 3 \] Используем правило произведения для нахождения производной: \[ y' = (x - 4)e^x + e^x \] Объединим слагаемые: \[ y' = e^x ((x - 4) + 1) = e^x (x - 3) \] ### Шаг 3: Найдите критические точки Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае: \[ e^x (x - 3) = 0 \] Поскольку \( e^x > 0 \) для любого \( x \), то мы решаем уравнение: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] Эта точка находится в нашем отрезке \([2; 4]\). ### Шаг 4: Вычислим значения функции в критической точке и на границах отрезка Теперь необходимо вычислить значение функции в критической точке и на границах отрезка. - **На границе** \( x = 2 \): \[ y(2) = (2 - 4)e^2 - 3 = (-2)e^2 - 3 = -2e^2 - 3 \] - **На границе** \( x = 4 \): \[ y(4) = (4 - 4)e^4 - 3 = 0 - 3 = -3 \] - **В критической точке** \( x = 3 \): \[ y(3) = (3 - 4)e^3 - 3 = (-1)e^3 - 3 = -e^3 - 3 \] ### Шаг 5: Сравните значения Теперь нам нужно сравнить найденные значения: 1. \( y(2) = -2e^2 - 3 \) 2. \( y(3) = -e^3 - 3 \) 3. \( y(4) = -3 \) Примерные значения: - \( e \approx 2.718 \) - \( e^2 \approx 7.389 \) - \( e^3 \approx 20.086 \) Таким образом: \[ y(2) \approx -2 \cdot 7.389 - 3 \approx -14.778 \] \[ y(3) \approx -20.086 - 3 \approx -23.086 \] \[ y(4) = -3 \] ### Шаг 6: Определение наименьшего значения Сравниваем вычисленные значения: - \( y(2) \approx -14.778 \) - \( y(3) \approx -23.086 \) - \( y(4) = -3 \) Наименьшее значение функции на отрезке \([2; 4]\) находится в точке \( x = 3 \): \[ \text{Наименьшее значение} \, y \approx -23.086. \] Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([2; 4]\) равно \( -e^3 - 3\).