Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( F(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x ) на отрезке ([-4, 3]), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Первым делом, давайте найдём первую производную ( F'(x) ), чтобы найти критические точки:
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x) = 6x^2 + 6x - 36
]
Шаг 2: Найдем критические точки
Теперь найдём точки, где производная равна нулю:
[
6x^2 + 6x - 36 = 0
]
Упрощаем уравнение, разделив его на 6:
[
x^2 + x - 6 = 0
]
Теперь разложим это уравнение на множители:
[
(x + 3)(x - 2) = 0
]
Таким образом, критические точки:
[
x = -3 \quad \text{и} \quad x = 2
]
Шаг 3: Проверим значения функции на границах и в критических точках
Теперь нам нужно найти значение функции ( F(x) ) в критических точках и на границах отрезка ([-4, 3]).
На границе ( x = -4 ):
[
F(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64
]
На границе ( x = 3 ):
[
F(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = -27
]
В критической точке ( x = -3 ):
[
F(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81
]
В критической точке ( x = 2 ):
[
F(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44
]
Шаг 4: Сравниваем найденные значения
Теперь мы сравниваем все найденные значения:
- ( F(-4) = 64 )
- ( F(3) = -27 )
- ( F(-3) = 81 )
- ( F(2) = -44 )
Наибольшее значение функции на отрезке ([-4, 3]):
[
\max = F(-3) = 81
]
Наименьшее значение функции на отрезке ([-4, 3]):
[
\min = F(2) = -44
]
Ответ
Наибольшее значение функции ( F(x) ) на отрезке ([-4, 3]) равно 81, а наименьшее — -44.
