найти наибольшее и наименьшее значение функции Ф от икса равно 2 икс в Кубе + 3 икс в квадрате-36 икс на отрезке-4-3?
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( F(x) = 2x^3 + 3x^2 - 36x \) на отрезке \([-4, 3]\), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдем производную функции
Первым делом, давайте найдём первую производную \( F'(x) \), чтобы найти критические точки:
\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 36x) = 6x^2 + 6x - 36 \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Теперь найдём точки, где производная равна нулю:
\[ 6x^2 + 6x - 36 = 0 \]
Упрощаем уравнение, разделив его на 6:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Теперь разложим это уравнение на множители:
\[ (x + 3)(x - 2) = 0 \]
Таким образом, критические точки:
\[ x = -3 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Шаг 3: Проверим значения функции на границах и в критических точках
Теперь нам нужно найти значение функции \( F(x) \) в критических точках и на границах отрезка \([-4, 3]\).
На границе \( x = -4 \): \[ F(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) = 2(-64) + 3(16) + 144 = -128 + 48 + 144 = 64 \]
На границе \( x = 3 \): \[ F(3) = 2(3)^3 + 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) + 3(9) - 108 = 54 + 27 - 108 = -27 \]
В критической точке \( x = -3 \): \[ F(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) = 2(-27) + 3(9) + 108 = -54 + 27 + 108 = 81 \]
В критической точке \( x = 2 \): \[ F(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) = 2(8) + 3(4) - 72 = 16 + 12 - 72 = -44 \]
Шаг 4: Сравниваем найденные значения
Теперь мы сравниваем все найденные значения:
- \( F(-4) = 64 \)
- \( F(3) = -27 \)
- \( F(-3) = 81 \)
- \( F(2) = -44 \)
Наибольшее значение функции на отрезке \([-4, 3]\): \[ \max = F(-3) = 81 \]
Наименьшее значение функции на отрезке \([-4, 3]\): \[ \min = F(2) = -44 \]
Ответ
Наибольшее значение функции \( F(x) \) на отрезке \([-4, 3]\) равно 81, а наименьшее — -44.
