Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции ( F(x) = x^3 + 6x^2 + 9x ) на отрезке ([-4, 0]), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции ( F(x) ), чтобы определить критические точки, где возможны экстремумы (максимумы и минимумы).
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x) = 3x^2 + 12x + 9
]
Шаг 2: Найти критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
[
3x^2 + 12x + 9 = 0
]
Упрощаем уравнение, разделив на 3:
[
x^2 + 4x + 3 = 0
]
ТеперьFactor we can factor the quadratic:
[
(x + 3)(x + 1) = 0
]
Следовательно, критические точки:
[
x = -3 \quad \text{и} \quad x = -1
]
Шаг 3: Вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка
Теперь нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках:
( F(-4) ):
[
F(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 96 - 36 = -4
]
( F(-3) ):
[
F(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0
]
( F(-1) ):
[
F(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4
]
( F(0) ):
[
F(0) = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0
]
Шаг 4: Сравнение значений
Теперь у нас есть значения:
- ( F(-4) = -4 )
- ( F(-3) = 0 )
- ( F(-1) = -4 )
- ( F(0) = 0 )
На основе этих значений можем определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
- Наименьшее значение: ( -4 ) (в точках ( x = -4 ) и ( x = -1 ))
- Наибольшее значение: ( 0 ) (в точках ( x = -3 ) и ( x = 0 ))
Ответы
- Наименьшее значение функции ( F(x) ) на отрезке ([-4, 0]): (-4)
- Наибольшее значение функции ( F(x) ) на отрезке ([-4, 0]): (0)
