найдите наибольшее наименьшее значение функции и Ф от икса равен икс в Кубе + 6 икс в квадрате + 9 икс на отрезке-4. 0.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( F(x) = x^3 + 6x^2 + 9x \) на отрезке \([-4, 0]\), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Сначала найдем производную функции \( F(x) \), чтобы определить критические точки, где возможны экстремумы (максимумы и минимумы).
\[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 + 9x) = 3x^2 + 12x + 9 \]
Шаг 2: Найти критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 3x^2 + 12x + 9 = 0 \]
Упрощаем уравнение, разделив на 3:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
ТеперьFactor we can factor the quadratic:
\[ (x + 3)(x + 1) = 0 \]
Следовательно, критические точки:
\[ x = -3 \quad \text{и} \quad x = -1 \]
Шаг 3: Вычислить значение функции в критических точках и на границах отрезка
Теперь нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках:
\( F(-4) \): \[ F(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 9(-4) = -64 + 96 - 36 = -4 \]
\( F(-3) \): \[ F(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 9(-3) = -27 + 54 - 27 = 0 \]
\( F(-1) \): \[ F(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) = -1 + 6 - 9 = -4 \]
\( F(0) \): \[ F(0) = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0 \]
Шаг 4: Сравнение значений
Теперь у нас есть значения:
- \( F(-4) = -4 \)
- \( F(-3) = 0 \)
- \( F(-1) = -4 \)
- \( F(0) = 0 \)
На основе этих значений можем определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
- Наименьшее значение: \( -4 \) (в точках \( x = -4 \) и \( x = -1 \))
- Наибольшее значение: \( 0 \) (в точках \( x = -3 \) и \( x = 0 \))
Ответы
- Наименьшее значение функции \( F(x) \) на отрезке \([-4, 0]\): \(-4\)
- Наибольшее значение функции \( F(x) \) на отрезке \([-4, 0]\): \(0\)
