3x^2+2y^2=11 x+2y=3
Решим систему уравнений:
- \( 3x^2 + 2y^2 = 11 \) (1)
- \( x + 2y = 3 \) (2)
Шаг 1: Изолируем одну переменную
Начнем с уравнения (2) и выразим \( x \) через \( y \):
\[ x = 3 - 2y \]
Шаг 2: Подставим выражение в другое уравнение
Теперь заменим \( x \) в уравнении (1):
\[ 3(3 - 2y)^2 + 2y^2 = 11 \]
Шаг 3: Раскроем скобки
Сначала найдем \((3 - 2y)^2\):
\[ (3 - 2y)^2 = 9 - 12y + 4y^2 \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ 3(9 - 12y + 4y^2) + 2y^2 = 11 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 27 - 36y + 12y^2 + 2y^2 = 11 \]
Соберем подобные слагаемые:
\[ 27 - 36y + 14y^2 = 11 \]
Теперь перенесем \( 11 \) на левую сторону уравнения:
\[ 14y^2 - 36y + 16 = 0 \]
Шаг 5: Упростим уравнение
Упростим, разделив все коэффициенты на 2:
\[ 7y^2 - 18y + 8 = 0 \]
Шаг 6: Найдем корни с помощью дискриминанта
Найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 8 = 324 - 224 = 100 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня.
Шаг 7: Найдем корни
Используем формулу для нахождения корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 7} = \frac{18 \pm 10}{14} \]
Таким образом, получаем два значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{28}{14} = 2 \)
- \( y_2 = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \)
Шаг 8: Найдем соответствующее значение \( x \)
Теперь находим \( x \) для каждого значения \( y \), подставляя обратно в выражение \( x = 3 - 2y \).
Для \( y = 2 \):
\[ x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1 \]
Для \( y = \frac{4}{7} \):
\[ x_2 = 3 - 2 \cdot \frac{4}{7} = 3 - \frac{8}{7} = \frac{21}{7} - \frac{8}{7} = \frac{13}{7} \]
Ответ
Таким образом, решение системы:
- \( (x, y) = (-1, 2) \)
- \( (x, y) = \left(\frac{13}{7}, \frac{4}{7}\right) \)
