x²+3/x²+1=2
Чтобы решить уравнение \( \frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2 \), начнем с того, чтобы избавиться от дроби. Для этого умножим обе стороны уравнения на \( x^2 + 1 \) (при условии, что \( x^2 + 1 \neq 0 \), что всегда верно для действительных чисел, так как \( x^2 + 1 \) всегда положительно):
\[ x^2 + 3 = 2(x^2 + 1) \]
Теперь раскроем скобки на правой стороне уравнения:
\[ x^2 + 3 = 2x^2 + 2 \]
Далее, перенесем все члены на одну сторону уравнения, чтобы привести его к стандартному виду. Для этого вычтем \( 2x^2 \) и \( 2 \) из обеих сторон:
\[ x^2 + 3 - 2x^2 - 2 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ -x^2 + 1 = 0 \]
Теперь умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака перед \( x^2 \):
\[ x^2 - 1 = 0 \]
Это уравнение можно разложить на множители:
\[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]
Теперь мы можем найти корни этого уравнения, приравняв каждый множитель к нулю:
- \( x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = 1 \)
- \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \)
Таким образом, мы нашли два решения:
\[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Чтобы убедиться, что оба значения \( x \) верны, подставим их обратно в исходное уравнение:
Для \( x = 1 \):
\[ \frac{1^2 + 3}{1^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Для \( x = -1 \):
\[ \frac{(-1)^2 + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \]
Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
