В треугольнике M N K MNK угол N N равен 9 0 ∘ 90 ∘ , N K = 7 NK=7 , M K = 25 MK=25 . Найди cos ⁡ ∠ K cos∠K .

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Треугольник \( MNK \)
• \( \angle N = 90^\circ \) (угол N - прямой угол)
• \( NK = 7 \) (длина стороны NK)
• \( MK = 25 \) (длина стороны MK)

Необходимо найти:

• \( \cos \angle K \)

Решение:

1. Определим стороны треугольника: В треугольнике с прямым углом мы можем использовать теорему Пифагора: \[ MK^2 = MN^2 + NK^2 \] где \( MK \) — гипотенуза, а \( MN \) и \( NK \) — катеты.

2. Подставим известные значения: Подставляем известные значения в формулу: \[ 25^2 = MN^2 + 7^2 \]

3. Посчитаем: \[ 625 = MN^2 + 49 \] Выразим \( MN^2 \): \[ MN^2 = 625 - 49 = 576 \] Найдем \( MN \): \[ MN = \sqrt{576} = 24 \]

4. Теперь у нас есть все стороны треугольника:

   • \( MN = 24 \)
   • \( NK = 7 \)
   • \( MK = 25 \)

5. Используем определение косинуса: Для угла \( K \) в прямоугольном треугольнике: \[ \cos K = \frac{\text{адъцентная сторона}}{\text{гипотенуза}} \] Здесь адъцентная сторона для угла \( K \) — это \( NK \), а гипотенуза — это \( MK \).

6. Подставим значения: \[ \cos K = \frac{NK}{MK} = \frac{7}{25} \]

Ответ:

\[ \cos \angle K = \frac{7}{25} \]

Таким образом, мы нашли значение \(\cos \angle K\) в треугольнике \( MNK \).