Острый угол ромба равен 60°, периметр равен 52,4 см. Вычислите меньшую диагональ ромба.

Чтобы найти меньшую диагональ ромба, начнем с некоторых исходных данных:

1. Дано:

   • Острый угол ромба \( \alpha = 60^\circ \).
   • Периметр ромба \( P = 52,4 \) см.

2. Из периметра найдем сторону ромба:
   Периметр ромба может быть выражен через длину стороны \( a \) так: \[ P = 4a \] Отсюда находим сторону: \[ a = \frac{P}{4} = \frac{52,4}{4} = 13,1 \text{ см} \]

3. Найдем диагонали ромба:
   В ромбе есть две диагонали, которые пересекаются под прямыми углами и делят угол на две равные части. Обозначим диагонали как \( d_1 \) (большая) и \( d_2 \) (меньшая).

   Сначала воспользуемся формулами для диагоналей через сторону и угол ромба: \[ d_1 = a \sqrt{2 + 2\cos(2\alpha)} = a \sqrt{2 + 2\cos(120^\circ)} \] \[ d_2 = a \sqrt{2 - 2\cos(2\alpha)} = a \sqrt{2 - 2\cos(120^\circ)} \]

   Так как \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \): \[ d_1 = a \sqrt{2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = a \sqrt{2 - 1} = a \sqrt{1} = a = 13,1 \text{ см} \] \[ d_2 = a \sqrt{2 - 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} = a \sqrt{2 + 1} = a \sqrt{3} = 13,1 \sqrt{3} \text{ см} \]

4. Вычислим меньшую диагональ \( d_2 \):
   \[ d_2 = 13,1 \sqrt{3} \] Подсчитаем значение \( \sqrt{3} \approx 1,732 \): \[ d_2 \approx 13,1 \cdot 1,732 \approx 22,7 \text{ см} \]

Ответ

Меньшая диагональ ромба составляет приблизительно 22,7 см.