(x-6)²/(x-3)>0

Чтобы решить неравенство \((x-6)^2/(x-3) > 0\), давайте шаг за шагом разберем его.

Шаг 1: Определение нулевых и запрещенных значений

1. Нули числителя: Числитель равен нулю, когда \((x-6)^2 = 0\). Это происходит, когда \(x = 6\).

2. Нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \(x-3 = 0\). Это происходит, когда \(x = 3\). Важно заметить, что в этой точке выражение не определено, поэтому \(x = 3\) будет запрещенным значением.

Шаг 2: Интервалы

Теперь определим интервалы на числовой оси, разделенные найденными значениями:

• Интервал 1: \((-\infty, 3)\)
• Интервал 2: \((3, 6)\)
• Интервал 3: \((6, +\infty)\)

Шаг 3: Проверка знаков на каждом интервале

Теперь нужно определить знак выражения \((x-6)^2/(x-3)\) на каждом из интервалов.

• Интервал 1: \((-\infty, 3)\)

  • Выберите \(x = 0\): \[ \frac{(0-6)^2}{0-3} = \frac{36}{-3} = -12 < 0 \] Здесь выражение отрицательно.

• Интервал 2: \((3, 6)\)

  • Выберите \(x = 4\): \[ \frac{(4-6)^2}{4-3} = \frac{4}{1} = 4 > 0 \] Здесь выражение положительно.

• Интервал 3: \((6, +\infty)\)

  • Выберите \(x = 7\): \[ \frac{(7-6)^2}{7-3} = \frac{1}{4} > 0 \] Здесь выражение также положительно.

Шаг 4: Итоговые значения

Теперь соберем все результаты:

• На интервале \((-\infty, 3)\) значение отрицательно, значит, не удовлетворяет неравенству.
• На интервале \((3, 6)\) значение положительно, значит, удовлетворяет неравенству.
• На интервале \((6, +\infty)\) значение также положительно, значит, удовлетворяет неравенству.

Шаг 5: Условия на границах

• При \(x = 6\), \(\frac{(6-6)^2}{6-3} = \frac{0}{3} = 0\) (не удовлетворяет)
• При \(x = 3\) значение не определено (запрещенное).

Шаг 6: Итоговый ответ

Таким образом, решением неравенства является: \[ x \in (3, 6) \cup (6, +\infty) \]

Вывод:

• Ответ: \(x \in (3, 6) \cup (6, +\infty)\)