(x-6)²/(x-3)>0

Чтобы решить неравенство \((x-6)^2/(x-3) > 0\), давайте шаг за шагом разберем его. ### Шаг 1: Определение нулевых и запрещенных значений 1. **Нули числителя:** Числитель равен нулю, когда \((x-6)^2 = 0\). Это происходит, когда \(x = 6\). 2. **Нули знаменателя:** Знаменатель равен нулю, когда \(x-3 = 0\). Это происходит, когда \(x = 3\). Важно заметить, что в этой точке выражение не определено, поэтому \(x = 3\) будет запрещенным значением. ### Шаг 2: Интервалы Теперь определим интервалы на числовой оси, разделенные найденными значениями: - Интервал 1: \((-\infty, 3)\) - Интервал 2: \((3, 6)\) - Интервал 3: \((6, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверка знаков на каждом интервале Теперь нужно определить знак выражения \((x-6)^2/(x-3)\) на каждом из интервалов. - **Интервал 1: \((-\infty, 3)\)** - Выберите \(x = 0\): \[ \frac{(0-6)^2}{0-3} = \frac{36}{-3} = -12 < 0 \] Здесь выражение отрицательно. - **Интервал 2: \((3, 6)\)** - Выберите \(x = 4\): \[ \frac{(4-6)^2}{4-3} = \frac{4}{1} = 4 > 0 \] Здесь выражение положительно. - **Интервал 3: \((6, +\infty)\)** - Выберите \(x = 7\): \[ \frac{(7-6)^2}{7-3} = \frac{1}{4} > 0 \] Здесь выражение также положительно. ### Шаг 4: Итоговые значения Теперь соберем все результаты: - На интервале \((-\infty, 3)\) значение отрицательно, значит, не удовлетворяет неравенству. - На интервале \((3, 6)\) значение положительно, значит, удовлетворяет неравенству. - На интервале \((6, +\infty)\) значение также положительно, значит, удовлетворяет неравенству. ### Шаг 5: Условия на границах - При \(x = 6\), \(\frac{(6-6)^2}{6-3} = \frac{0}{3} = 0\) (не удовлетворяет) - При \(x = 3\) значение не определено (запрещенное). ### Шаг 6: Итоговый ответ Таким образом, решением неравенства является: \[ x \in (3, 6) \cup (6, +\infty) \] Вывод: - **Ответ:** \(x \in (3, 6) \cup (6, +\infty)\)