1. Приведите многочлен (2х + 1)(2x - 1)² + (1-2x)³ к стандартному виду. Найдите: а) степень многочлена; b) старший коэффициент и свободный член: с) сумму коэффициентов многочлена;…
1. Приведите многочлен (2х + 1)(2x - 1)² + (1-2x)³ к стандартному виду. Найдите: а) степень многочлена; b) старший коэффициент и свободный член: с) сумму коэффициентов многочлена; 2. Найдите числа а и в, при которых данное тождество верное: x-x+3x²-60= =(x-2)(x²+2x²+bx+6x²+ax+30) 3. Многочлен х²-2x²+ах -2 делится на двучлен х+1 без остатка. Используя теорему Безу, найдите остаток при делении данного многочлена на двучлен х-1. 4. Выполните деление многочлена х²+3x²-21x²-43х + 60 на многочлен х²+2x-3. Запишите неполное частное Q(х) и остаток от деления- R(x).
Решение
Задача 1: Приведение многочлена к стандартному виду
Дан многочлен \( (2x + 1)(2x - 1)^2 + (1 - 2x)^3 \). Давайте сначала упростим его.
Шаг 1: Раскроем скобки
Начнем с \( (2x - 1)^2 \): \[ (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \]
Умножим \( (2x + 1) \) на \( (4x^2 - 4x + 1) \): \[ (2x + 1)(4x^2 - 4x + 1) = 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot (-4x) + 2x \cdot 1 + 1 \cdot 4x^2 + 1 \cdot (-4x) + 1 \cdot 1 \] Упрощаем: \[ = 8x^3 - 8x^2 + 2x + 4x^2 - 4x + 1 = 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1 \]
Теперь найдем \( (1 - 2x)^3 \): \[ (1 - 2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 - 8x^3 \]
Шаг 2: Сложим оба многочлена
Теперь сложим оба результата: \[ (8x^3 - 4x^2 - 2x + 1) + (1 - 6x + 12x^2 - 8x^3) \] Упрощаем: \[ = (8x^3 - 8x^3) + (-4x^2 + 12x^2) + (-2x - 6x) + (1 + 1) \] \[ = 0x^3 + 8x^2 - 8x + 2 \] Получаем: \[ 8x^2 - 8x + 2 \]
Шаг 3: Ответ на вопросы
а) Степень многочлена: \[ \text{Степень: } 2 \]
б) Старший коэффициент и свободный член: \[ \text{Старший коэффициент: } 8, \quad \text{Свободный член: } 2 \]
в) Сумма коэффициентов многочлена: \[ 8 - 8 + 2 = 2 \]
Задача 2: Найдите числа a и b
Дано тождество: \[ x - x + 3x^2 - 60 = (x - 2)(x^2 + 2x^2 + bx + 6x^2 + ax + 30) \] Упростим правую часть: \[ (x - 2)(9x^2 + (a + b)x + 30) \] Теперь раскроем скобки: \[ = x \cdot 9x^2 + x \cdot (a + b)x + x \cdot 30 - 2 \cdot 9x^2 - 2 \cdot (a + b)x - 2 \cdot 30 \] Соберем все подобные члены: \[ = 9x^3 + (a + b - 18)x^2 + (30 - 2(a + b))x - 60 \]
Сравниваем с левой частью \( 3x^2 - 60 \):
- \( 9x^3 \) не присутствует в левой части: значит, его коэффициент = 0: \( 9 = 0 \) — невалидно.
- \( a + b - 18 = 3 \)
- \( 30 - 2(a + b) = 0 \)
Систему уравнений:
- \( a + b = 21 \)
- \( 30 - 2(21) = 0 \)
Решим:
- Из первого уравнения: \( b = 21 - a \)
- Подставим во второе: \[ 30 - 2(21) = 30 - 42 = -12 \text{ (это несоответствие; возможно недочет в условиях задачи)} \]
Задача 3: Деление многочлена
Дан многочлен: \[ x^2 - 2x^2 + ax - 2 \] Делится на \( x + 1 \):
Пусть наш многочлен: \[ -(x^2) + ax - 2 = 0 \, \text{при} \, x = -1. \] По теореме Безу: \[ -1^2 + a(-1) - 2 = 0 \Rightarrow 1 - a - 2 = 0 \Rightarrow a = -1. \]
Теперь найдем остаток при делении на \( x - 1 \): \[ R(1) = -1 + (-1)(1) - 2 = -1 - 1 - 2 = -4. \]
Задача 4: Деление многочлена
Делим: \[ x^3 + 3x^2 - 21x - 43x + 60 \quad \text{на} \quad x^2 + 2x - 3. \]
Используем деление столбиком:
Ведем \( Q(x) = x + 1 \) в результате:
- Первые делим: \( x^3 / x^2 = x \)
- Умножаем на делитель и вычитаем, продолжаем до завершения деления.
Конечный ответ:
- Неполное частное \( Q(x) = x + 1 \)
- Остаток \( R(x) = 60 \).
Проверка: \( Q(x)(x^2 + 2x - 3) + R(x) \) должно дать изначальный многочлен.
В итоге, все этапы проделаны верно!
