Y'=(tg⁵8x-⁶корень из (1/x⁷-4x)⁵)'

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим её шаг за шагом. У нас есть производная функции \[ y' = \left( \tan^5(8x) - 6\sqrt{\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^5} \right)' \] 1. **Найдём производную от первого слагаемого**: Функция \(\tan^5(8x)\) — это сложная функция, поэтому мы применим цепное правило: \[ \frac{d}{dx}(\tan^5(8x)) = 5\tan^4(8x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(8x)) \] Теперь найдём производную от \(\tan(8x)\) с помощью цепного правила: \[ \frac{d}{dx}(\tan(8x)) = \sec^2(8x) \cdot \frac{d}{dx}(8x) = 8\sec^2(8x) \] Таким образом, производная от \(\tan^5(8x)\): \[ \frac{d}{dx}(\tan^5(8x)) = 5\tan^4(8x) \cdot 8\sec^2(8x) = 40\tan^4(8x)\sec^2(8x) \] 2. **Теперь найдём производную от второго слагаемого**: Для функции \(-6\sqrt{\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^5}\) используем правило производной произведения и цепное правило. Сначала упростим: \[ -\sqrt{A^5} = -6A^{5/2} \quad \text{где} \quad A = \frac{1}{x^7} - 4x \] Теперь находим производную: \[ \frac{d}{dx}(-6A^{5/2}) = -6 \cdot \frac{5}{2} A^{3/2} \cdot \frac{dA}{dx} \] Где \(\frac{dA}{dx}\): \[ A = \frac{1}{x^7} - 4x \implies \frac{dA}{dx} = -7x^{-8} - 4 \] Теперь подставим \(\frac{dA}{dx}\) в формулу для производной: \[ \frac{d}{dx}(-6A^{5/2}) = -15A^{3/2}(-7x^{-8} - 4) \] Подставим обратно значение \(A\): \[ = -15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(-7x^{-8} - 4) \] 3. **Составим полное выражение для производной**: Теперь объединяем обе полученные производные: \[ y' = 40\tan^4(8x)\sec^2(8x) + 15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(7x^{-8} + 4) \] Таким образом, мы нашли производную заданной функции. **Ответ**: \[ y' = 40 \tan^4(8x) \sec^2(8x) + 15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(7x^{-8} + 4) \] Если есть вопросы по каким-либо шагам, не стесняйтесь спрашивать!