y'=(tg⁵8x-⁶корень из (1/x⁷-4x)⁵)'
Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим её шаг за шагом. У нас есть производная функции
\[ y' = \left( \tan^5(8x) - 6\sqrt{\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^5} \right)' \]
- Найдём производную от первого слагаемого:
Функция \(\tan^5(8x)\) — это сложная функция, поэтому мы применим цепное правило:
\[ \frac{d}{dx}(\tan^5(8x)) = 5\tan^4(8x) \cdot \frac{d}{dx}(\tan(8x)) \]
Теперь найдём производную от \(\tan(8x)\) с помощью цепного правила:
\[ \frac{d}{dx}(\tan(8x)) = \sec^2(8x) \cdot \frac{d}{dx}(8x) = 8\sec^2(8x) \]
Таким образом, производная от \(\tan^5(8x)\):
\[ \frac{d}{dx}(\tan^5(8x)) = 5\tan^4(8x) \cdot 8\sec^2(8x) = 40\tan^4(8x)\sec^2(8x) \]
- Теперь найдём производную от второго слагаемого:
Для функции \(-6\sqrt{\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^5}\) используем правило производной произведения и цепное правило.
Сначала упростим:
\[ -\sqrt{A^5} = -6A^{5/2} \quad \text{где} \quad A = \frac{1}{x^7} - 4x \]
Теперь находим производную:
\[ \frac{d}{dx}(-6A^{5/2}) = -6 \cdot \frac{5}{2} A^{3/2} \cdot \frac{dA}{dx} \]
Где \(\frac{dA}{dx}\):
\[ A = \frac{1}{x^7} - 4x \implies \frac{dA}{dx} = -7x^{-8} - 4 \]
Теперь подставим \(\frac{dA}{dx}\) в формулу для производной:
\[ \frac{d}{dx}(-6A^{5/2}) = -15A^{3/2}(-7x^{-8} - 4) \]
Подставим обратно значение \(A\):
\[ = -15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(-7x^{-8} - 4) \]
- Составим полное выражение для производной:
Теперь объединяем обе полученные производные:
\[ y' = 40\tan^4(8x)\sec^2(8x) + 15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(7x^{-8} + 4) \]
Таким образом, мы нашли производную заданной функции.
Ответ:
\[ y' = 40 \tan^4(8x) \sec^2(8x) + 15\left(\frac{1}{x^7} - 4x\right)^{3/2}(7x^{-8} + 4) \]
Если есть вопросы по каким-либо шагам, не стесняйтесь спрашивать!
