Чтобы решить задачу, нам сначала нужно определить, какую начальную скорость необходимо дать мячу, чтобы при ударе о землю он подпрыгнул на высоту 11 метров. Основные физические законы, которые нам понадобятся, это закон сохранения энергии и уравнения движения в свободном падении.
Шаг 1: Определение потенциальной энергии
Когда мяч поднимается на высоту 11 метров, он обладает потенциальной энергией. Потенциальная энергия (PE) на высоте h может быть выражена формулой:
[
PE = mgh,
]
где:
- (m) — масса мяча,
- (g) — ускорение свободного падения (приблизительно (9.81 , \text{м/с}^2)),
- (h) — высота ((11 , \text{м})).
Шаг 2: Потенциальная энергия при высоте 11 м
На высоте 11 м потенциальная энергия мяча равна:
[
PE = m \cdot g \cdot 11.
]
Шаг 3: Кинетическая энергия при запуске
При запуске мяча с начальной скоростью (v_0) его кинетическая энергия (KE) будет равна:
[
KE = \frac{1}{2}mv_0^2.
]
Шаг 4: Применение закона сохранения энергии
По закону сохранения энергии, когда мяч падает и ударяется о землю, вся кинетическая энергия при ударе будет преобразована в потенциальную энергию при подъеме на высоту 11 м. Таким образом, у нас есть:
[
\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh.
]
Мы можем сократить массу (m) с обеих сторон (при условии, что она не равна нулю):
[
\frac{1}{2}v_0^2 = gh.
]
Шаг 5: Подставляем значения
Теперь подставляем значения:
[
\frac{1}{2}v_0^2 = 9.81 \cdot 11.
]
Сначала вычислим правую часть уравнения:
[
g \cdot h = 9.81 \cdot 11 = 107.91 , \text{м}^2/\text{с}^2.
]
Теперь у нас есть:
[
\frac{1}{2}v_0^2 = 107.91.
]
Шаг 6: Решаем уравнение
Умножим обе стороны на 2:
[
v_0^2 = 215.82.
]
Теперь извлекаем квадратный корень:
[
v_0 = \sqrt{215.82} \approx 14.7 , \text{м/с}.
]
Заключение
Таким образом, мяч нужно бросить вниз с начальной скоростью примерно (14.7 , \text{м/с}), чтобы он подпрыгнул на высоту 11 метров.
