Решить
Для решения неравенства \(5x^2 \geq 8x - 3\) следуем следующим шагам:
Переносим все слагаемые в одну часть:
Перепишем неравенство так, чтобы левая часть была многочленом: \[ 5x^2 - 8x + 3 \geq 0 \]
Решаем квадратное уравнение:
Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(5x^2 - 8x + 3 = 0\).
Вычислим дискриминант:
Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 3\).
Подставим значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \]
Найдем корни квадратного уравнения:
Используем формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10} \]
Корни: \[ x_1 = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{6}{10} = 0.6 \]
Определяем знаки на интервалах:
Многочлен \(5x^2 - 8x + 3\) является параболой, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \(a = 5 > 0\).
Интервалы:
- \((-\infty, 0.6)\)
- \([0.6, 1)\)
- \([1, +\infty)\)
Подставляем значения, чтобы определить знаки:
- На интервале \((-\infty, 0.6)\) берем значение \(x = 0\): \(5 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 3 = 3 > 0\).
- На интервале \((0.6, 1)\) берем значение \(x = 0.8\): \(5 \cdot 0.8^2 - 8 \cdot 0.8 + 3 = -0.4 < 0\).
- На интервале \((1, +\infty)\) берем значение \(x = 2\): \(5 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 3 = 3 > 0\).
Записываем решение неравенства:
Неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 0.6] \cup [1, +\infty) \]
Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 0.6] \cup [1, +\infty) \]
