Решить

Для решения неравенства \(5x^2 \geq 8x - 3\) следуем следующим шагам: 1. **Переносим все слагаемые в одну часть:** Перепишем неравенство так, чтобы левая часть была многочленом: \[ 5x^2 - 8x + 3 \geq 0 \] 2. **Решаем квадратное уравнение:** Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения \(5x^2 - 8x + 3 = 0\). 3. **Вычислим дискриминант:** Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = 3\). Подставим значения: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4 \] 4. **Найдем корни квадратного уравнения:** Используем формулу: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{10} = \frac{8 \pm 2}{10} \] Корни: \[ x_1 = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{6}{10} = 0.6 \] 5. **Определяем знаки на интервалах:** Многочлен \(5x^2 - 8x + 3\) является параболой, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \(a = 5 > 0\). Интервалы: - \((-\infty, 0.6)\) - \([0.6, 1)\) - \([1, +\infty)\) Подставляем значения, чтобы определить знаки: - На интервале \((-\infty, 0.6)\) берем значение \(x = 0\): \(5 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 3 = 3 > 0\). - На интервале \((0.6, 1)\) берем значение \(x = 0.8\): \(5 \cdot 0.8^2 - 8 \cdot 0.8 + 3 = -0.4 < 0\). - На интервале \((1, +\infty)\) берем значение \(x = 2\): \(5 \cdot 2^2 - 8 \cdot 2 + 3 = 3 > 0\). 6. **Записываем решение неравенства:** Неравенство выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 0.6] \cup [1, +\infty) \] Итак, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, 0.6] \cup [1, +\infty) \]