Первый велосипедист преодолевает расстояние 60 км на 1 час быстрее, чем второй. Если бы первый велосипедист уменьшил скорость на 2 км/ч, а второй увеличил свою скорость на 20%, то…

Для решения данной задачи давайте обозначим скорости первого и второго велосипедистов как \( v_1 \) и \( v_2 \) соответственно. У нас есть следующие данные:

1. Первый велосипедист преодолевает 60 км на 1 час быстрее, чем второй.
2. Если первый велосипедист уменьшит свою скорость на 2 км/ч, а второй увеличит свою скорость на 20%, они будут двигаться одно и то же время на том же пути.

Шаг 1: Составление уравнений

Начнем с формулировки уравнений на основе условий задачи.

1. Время, затраченное первым велосипедистом, можно выразить как:
   \[ t_1 = \frac{60}{v_1} \]

2. Время, затраченное вторым велосипедистом:
   \[ t_2 = \frac{60}{v_2} \]

3. По условию задачи:
   \[ t_1 = t_2 - 1 \]

Разливаем это в уравнение:
\[ \frac{60}{v_1} = \frac{60}{v_2} - 1 \]

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Умножим каждую часть уравнения на \( v_1 \cdot v_2 \) для устранения дробей: \[ 60v_2 = 60v_1 - v_1 v_2 \]

Перепишем это уравнение в стандартном виде: \[ v_1 v_2 - 60v_1 + 60v_2 = 0 \]

Шаг 3: Условие с измененной скоростью

Теперь согласно второму условию:

• новой скорости первого велосипедиста: \( v_1 - 2 \)
• новой скорости второго велосипедиста: \( v_2 \cdot 1.2 \)

Так как они используют одинаковое время на тот же путь, у нас есть: \[ \frac{60}{v_1 - 2} = \frac{60}{1.2v_2} \]

Шаг 4: Убираем дроби

Умножаем уравнение на \( (v_1 - 2) \cdot 1.2v_2 \): \[ 60 \cdot 1.2v_2 = 60(v_1 - 2) \]

Сокращаем на 60 и перерабатываем уравнение: \[ 1.2v_2 = v_1 - 2 \] или \[ v_1 = 1.2v_2 + 2 \]

Шаг 5: Подстановка в первое уравнение

Теперь подставим \( v_1 \) из второго уравнения в первое: \[ (1.2v_2 + 2)v_2 - 60(1.2v_2 + 2) + 60v_2 = 0 \]

Раскроем скобки: \[ 1.2v_2^2 + 2v_2 - 72v_2 - 120 + 60v_2 = 0 \] \[ 1.2v_2^2 - 10v_2 - 120 = 0 \]

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Мы имеем квадратное уравнение вида: \[ 1.2v_2^2 - 10v_2 - 120 = 0 \]

Для решения данного уравнения применим формулу корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1.2 \), \( b = -10 \), \( c = -120 \). Теперь рассчитаем дискриминант: \[ D = (-10)^2 - 4 \cdot 1.2 \cdot (-120) = 100 + 576 = 676 \]

Теперь находим корни: \[ v_2 = \frac{-(-10) \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1.2} = \frac{10 \pm 26}{2.4} \]

Находим два значения:

1. \( v_2 = \frac{36}{2.4} = 15 \)
2. \( v_2 = \frac{-16}{2.4} \) (отрицательное значение не подходит).

Шаг 7: Находит скорость первого велосипедиста

Теперь подставляем значение \( v_2 \) в уравнение для \( v_1 \): \[ v_1 = 1.2 \cdot 15 + 2 = 18 + 2 = 20 \]

Ответ

Итак, скорости велосипедистов равны:

• Скорость первого велосипедиста: \( 20 \) км/ч
• Скорость второго велосипедиста: \( 15 \) км/ч