Для решения данной задачи давайте обозначим скорости первого и второго велосипедистов как ( v_1 ) и ( v_2 ) соответственно. У нас есть следующие данные:
- Первый велосипедист преодолевает 60 км на 1 час быстрее, чем второй.
- Если первый велосипедист уменьшит свою скорость на 2 км/ч, а второй увеличит свою скорость на 20%, они будут двигаться одно и то же время на том же пути.
Шаг 1: Составление уравнений
Начнем с формулировки уравнений на основе условий задачи.
Время, затраченное первым велосипедистом, можно выразить как:
[
t_1 = \frac{60}{v_1}
]
Время, затраченное вторым велосипедистом:
[
t_2 = \frac{60}{v_2}
]
По условию задачи:
[
t_1 = t_2 - 1
]
Разливаем это в уравнение:
[
\frac{60}{v_1} = \frac{60}{v_2} - 1
]
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю
Умножим каждую часть уравнения на ( v_1 \cdot v_2 ) для устранения дробей:
[
60v_2 = 60v_1 - v_1 v_2
]
Перепишем это уравнение в стандартном виде:
[
v_1 v_2 - 60v_1 + 60v_2 = 0
]
Шаг 3: Условие с измененной скоростью
Теперь согласно второму условию:
- новой скорости первого велосипедиста: ( v_1 - 2 )
- новой скорости второго велосипедиста: ( v_2 \cdot 1.2 )
Так как они используют одинаковое время на тот же путь, у нас есть:
[
\frac{60}{v_1 - 2} = \frac{60}{1.2v_2}
]
Шаг 4: Убираем дроби
Умножаем уравнение на ( (v_1 - 2) \cdot 1.2v_2 ):
[
60 \cdot 1.2v_2 = 60(v_1 - 2)
]
Сокращаем на 60 и перерабатываем уравнение:
[
1.2v_2 = v_1 - 2
]
или
[
v_1 = 1.2v_2 + 2
]
Шаг 5: Подстановка в первое уравнение
Теперь подставим ( v_1 ) из второго уравнения в первое:
[
(1.2v_2 + 2)v_2 - 60(1.2v_2 + 2) + 60v_2 = 0
]
Раскроем скобки:
[
1.2v_2^2 + 2v_2 - 72v_2 - 120 + 60v_2 = 0
]
[
1.2v_2^2 - 10v_2 - 120 = 0
]
Шаг 6: Решение квадратного уравнения
Мы имеем квадратное уравнение вида:
[
1.2v_2^2 - 10v_2 - 120 = 0
]
Для решения данного уравнения применим формулу корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1.2 ), ( b = -10 ), ( c = -120 ). Теперь рассчитаем дискриминант:
[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 1.2 \cdot (-120) = 100 + 576 = 676
]
Теперь находим корни:
[
v_2 = \frac{-(-10) \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1.2} = \frac{10 \pm 26}{2.4}
]
Находим два значения:
- ( v_2 = \frac{36}{2.4} = 15 )
- ( v_2 = \frac{-16}{2.4} ) (отрицательное значение не подходит).
Шаг 7: Находит скорость первого велосипедиста
Теперь подставляем значение ( v_2 ) в уравнение для ( v_1 ):
[
v_1 = 1.2 \cdot 15 + 2 = 18 + 2 = 20
]
Ответ
Итак, скорости велосипедистов равны:
- Скорость первого велосипедиста: ( 20 ) км/ч
- Скорость второго велосипедиста: ( 15 ) км/ч
